Pré-Vestibular ⇒ (Unioeste 2016) Geometria Plana Tópico resolvido

[mmackenzie]

De acordo com a figura abaixo, sabe-se que ABC é um triângulo retângulo, reto em B, com medidas AB e BC iguais a 3 e 4, respectivamente. Os segmentos BD e AC se interceptam, no ponto E, formando um ângulo de 90 graus. Além disso, a medida de BE é o dobro da medida de DE. Com base nestas informações e na figura, é CORRETO afirmar que o segmento AD mede:

prova.png (29.25 KiB) Exibido 6097 vezes

A) 2
B) 11/5
C) √117/5
D) √131/5
E) 3

[Ivo213]

(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2
(AC)^2 = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
AC = 5

BE = altura do triângulo ABC em relação à sua hipotnusa
BE = AB*BC/AC = 3*4/5 = 2,4
DE = BE/2 = 2,4/2 = 1,2

(CE)^2 = (BC)^2 - (BE)^2
(CE)^2 = 4² - (2,4)^2 = 16 - 5,76 = 10,24
CE = 3,2

AE = AC - CE = 5 - 3,2
AE = 1,8

Portanto, fica:
(AD)^2 = (AE)^2 + (DE)^2 = (1,8)^2 + (1,2)^2 = 3,24 + 1,44 = 4,68
AD = √(117/25)
AD = √117/5

Alternativa (C)


O Senhor te abençoe e te guarde, e te dê a paz.

[paulo testoni]

Hola.

Respeitando a bela resolução do amigo Ivo, coloco uma outra maneira de solução.

Sem título.gif (4.52 KiB) Exibido 6073 vezes

Note que o ponto E forma 4 ângulos retos, logo temos 5 [tex3]\bigtriangleup[/tex3]

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[tex3]\bigtriangleup[/tex3]

Vamos usar somente 2 deles, a saber:
No [tex3]\bigtriangleup ABC[/tex3]

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[tex3]\bigtriangleup ABC[/tex3]

, temos:
[tex3]AC=m+n=a,\/e\/h=2x, \/assim:\\
AC^2=AB^2+BC^2\\
a^2=c^2+b^2\\
a^2=3^2+4^2\\
a=5[/tex3]

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[tex3]AC=m+n=a,\/e\/h=2x, \/assim:\\
AC^2=AB^2+BC^2\\
a^2=c^2+b^2\\
a^2=3^2+4^2\\
a=5[/tex3]

Pelas Relações Métricas do [tex3]\bigtriangleup[/tex3]

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[tex3]\bigtriangleup[/tex3]

retângulo, concluímos que:
[tex3]a*h=b*c\\
5*2x=3*4\\
10x=12\\
x=\frac{6}{5}[/tex3]

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[tex3]a*h=b*c\\
5*2x=3*4\\
10x=12\\
x=\frac{6}{5}[/tex3]

.
Continuando:
[tex3]c^2=m*5\\
5m=9\\
m=\frac{9}{5}[/tex3]

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[tex3]c^2=m*5\\
5m=9\\
m=\frac{9}{5}[/tex3]

Portanto:
No [tex3]\bigtriangleup AED[/tex3]

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[tex3]\bigtriangleup AED[/tex3]

, temos:
[tex3]AD^2 = AE^2 + DE^2\\
AD^2=x^2+m^2\\
AD^2 = (\frac{6}{5})^2+(\frac{9}{5})^2\\
AD^2 = \frac{36+81}{25}\\
AD=\frac{\sqrt117}{5}[/tex3]

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[tex3]AD^2 = AE^2 + DE^2\\
AD^2=x^2+m^2\\
AD^2 = (\frac{6}{5})^2+(\frac{9}{5})^2\\
AD^2 = \frac{36+81}{25}\\
AD=\frac{\sqrt117}{5}[/tex3]