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Mensagem não lidapor **ALANSILVA** » 09 Jul 2016, 21:33 · Mensagem não lida por **ALANSILVA** » 09 Jul 2016, 21:33

Em qual dos casos abaixo, vale a desigualdade $\frac{x^{2}-ax-2a^{2}}{x^{2}-(a+2)x+2a}$ < $0$ ?

a) a<0, x<2a
b) a=0, x>-a
c) a>2, 2<x<a
d) a>2, -a<x<2
e) a>2, x>2a

Resposta

Gabarito: D

Mensagem não lidapor **danjr5** » 17 Jul 2016, 10:40 · Mensagem não lida por **danjr5** » 17 Jul 2016, 10:40

Olá Alan!

Quanto ao numerador, temos:

$\\ \mathsf{x^2 - ax - 2a^2 = 0} \\\\ \mathsf{\Delta = a^2 + 8a^2} \\\\ \mathsf{x = \frac{a \pm 3a}{2}} \\\\ \mathsf{x' = 2a \quad e \quad x'' = - a}$

Mas, note que temos três possibilidades para $\mathsf{a}$ : $\mathsf{a > 0, \quad a = 0 \quad e \quad a < 0}$ .

$\mathsf{\bullet \quad quando \quad \underline{a > 0}:}$

___+____(- a)____-_____(2a)____+____

Portanto, $\boxed{\mathsf{- a < x < 2a}}$ .

$\mathsf{\bullet \quad quando \quad \underline{a = 0}:} \\\\ \mathsf{x^2 < 0} \\ \boxed{\mathsf{S_1 = \left \{ x \in \mahbb{R} | x = 0 \right \}}}$

$\mathsf{\bullet \quad quando \quad \underline{a < 0}:}$

___+____(2a)____-_____(- a)____+____

Portanto, $\boxed{\mathsf{2a < x < - a}}$ .

Por conseguinte, avaliamos o denominador:

$\\ \mathsf{x^2 - (a + 2)x + 2a = 0} \\\\ \maths{\Delta = a^2 + 4a + 4 - 8a} \\\\ \mathsf{\Delta = (a - 2)^2} \\\\ \mathsf{x = \frac{a + 2 \pm (a - 2)}{2}} \\\\ \mathsf{x' = a \quad e \quad x'' = 2}$

De modo análogo, temos também três possibilidades $\mathsf{a}$ : $\mathsf{a > 2, \quad a = 2 \quad e \quad a < 2}$ .

$\mathsf{\bullet \quad quando \quad \underline{a > 2}:}$

___+____(2)____-_____(a)____+____

Portanto, $\boxed{\mathsf{2 < x < a}}$ .

$\mathsf{\bullet \quad quando \quad \underline{a = 2}:} \\\\ \mathsf{x^2 - 4x + 4 < 0} \\ \boxed{\mathsf{S_2 = \left \{ x \in \mathbb{R} | x = 2 \right \}}}$

$\mathsf{\bullet \quad quando \quad \underline{a < 2}:}$

___+____(a)____-_____(2)____+____

Portanto, $\boxed{\mathsf{a < x < 2}}$ .

Por fim, supomos que $\mathsf{a > 2}$ , já que nas opções estão em maior número, então devemos determinar o conjunto-solução entre os intervalos onde $\mathsf{a > 2 \quad e \quad a > 0}$ . Segue,

a > 0 ___-______(- a)___+__________+_________+___(2a)___-_________
a > 2 ___-_____________-_____(2)___+____(a)___-_________-_________
S _____+_______(- a)___-_____(2)___+____(a)___-___(2a)___+_________

Logo, concluímos que $\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ x \in \matbb{R} | - a < x < 2 \ \vee \ a < x < 2a \right \}}}}$

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