IME / ITA(AFA 2003) Binômio de Newton Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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brunoafa
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(AFA 2003) Binômio de Newton

Mensagem não lida por brunoafa »

No desenvolvimento de \left(x^r+x^{-r \right)^n, ordenado pelas potências decrescentes de x, sendo r>0 e n natural, o coeficiente do 5º termo que é independente de x é igual a:

a)252
b)70
c)10
d)8

Eu fiz

\left(x^r+\frac{1}{x^r}\right)^n = \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}(x^r)^{n-p}(x^{-r})^{p} \rightarrow \begin{pmatrix}n \\  4 \end{pmatrix}(x)^{rn-2rp} \\ \\ \\

rn=2rp \\ \\
\rightarrow \boxed{n=2p}

Ta, mas e ai? Como é que eu descubro o p?

Última edição: brunoafa (Ter 05 Jul, 2016 13:04). Total de 1 vez.


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undefinied3
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Re: (AFA 2003) Binômio de Newton

Mensagem não lida por undefinied3 »

p=5 por hipótese?



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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brunoafa
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Re: (AFA 2003) Binômio de Newton

Mensagem não lida por brunoafa »

undefinied3 escreveu:p=5 por hipótese?
Na verdade era para ser quatro ali. Eu usei aquela propriedade T_{p+1}={n \choose p} \cdot a^p \cdot x^{n-p}


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undefinied3
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Re: (AFA 2003) Binômio de Newton

Mensagem não lida por undefinied3 »

Ah sim, esqueci que é p+1


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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brunoafa
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Re: (AFA 2003) Binômio de Newton

Mensagem não lida por brunoafa »

undefinied3 escreveu:Ah sim, esqueci que é p+1
E a resolução, tem ideia de como seja? kk
Última edição: brunoafa (Qua 06 Jul, 2016 11:29). Total de 1 vez.


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futuromilitar
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Re: (AFA 2003) Binômio de Newton

Mensagem não lida por futuromilitar »

Olá, brunoafa. Observe como se faz:

Primeiro, determinaremos o termo geral:

T_{p+1}=[tex3]C^p_{n}(x^r)^{n-p}(x^{-r})^p[/tex3]

T_{p+1}=[tex3]C^p_{n}.x^{rn-rp}.x^{-rp}=C^p_{n}.x^{rn-rp--rp}=[/tex3]

T_{p+1}=C^p_{n}.x^{-2rp+rn}

Se o termo independente é o 5°, então, temos que [tex3]p=4[/tex3]

Assim: -2rp+rn=0 \Rightarrow rn=2rp \Rightarrow n=2p \Rightarrow

[tex3]n=2x4=8[/tex3]

Se [tex3]n=8[/tex3] , então, o coeficiente vale [tex3]C_8^{4}=\frac{8!}{4!. 4!}=[/tex3] [tex3]\boxed{\boxed{x=70}}[/tex3]

Boa prova amigo. Nos vemos na AFA hahaha

Última edição: futuromilitar (Qua 06 Jul, 2016 22:55). Total de 1 vez.


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