IME / ITA ⇒ (IME) Equação Irracional Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2016
30
13:48
(IME) Equação Irracional
Resolva a equação [tex3]\sqrt{5-\sqrt{5-x}}= x[/tex3]
, sabendo que [tex3]x>0.[/tex3]
Última edição: caju (Seg 22 Jan, 2018 19:07). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
Razão: TeX --> TeX3
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Jan 2018
22
17:13
Re: (IME) Equação Irracional
elevando os membros ao quadrado
[tex3]\sqrt{5\sqrt[]{5-x}}^2 = x^2[/tex3]
[tex3]5\ - \sqrt{5-x} = x^2[/tex3]
invertendo os lados e elevando ao quadrado de novo
[tex3]5\ -\ x = x^4 - 10x^2 +25[/tex3]
[tex3]x^4-10x^2+x+20=0[/tex3]
nesse ponto eu acho exaustivo por toda a pesquisa de raízes. As quatro serão:
[tex3]x1\ e\ x2 = +-(\sqrt{21}+1)/2[/tex3] [tex3]x3\ e\ x4= +-(\sqrt{17}+1)/2[/tex3]
[tex3]\sqrt{5\sqrt[]{5-x}}^2 = x^2[/tex3]
[tex3]5\ - \sqrt{5-x} = x^2[/tex3]
invertendo os lados e elevando ao quadrado de novo
[tex3]5\ -\ x = x^4 - 10x^2 +25[/tex3]
[tex3]x^4-10x^2+x+20=0[/tex3]
nesse ponto eu acho exaustivo por toda a pesquisa de raízes. As quatro serão:
[tex3]x1\ e\ x2 = +-(\sqrt{21}+1)/2[/tex3] [tex3]x3\ e\ x4= +-(\sqrt{17}+1)/2[/tex3]
Última edição: jvmago (Seg 22 Jan, 2018 17:14). Total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Jan 2018
22
17:16
Re: (IME) Equação Irracional
se alguem souber alguma forma de fatorar o polinomio, seria de grande ajuda pois se tornou mt trabalhosa a questão
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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Jan 2018
22
18:29
Re: (IME) Equação Irracional
Eu tinha visto essa questão, e tinham mostrado uma forma bem interessante, mas, que deveria ser provada antes de tudo
Seria transformar em uma equação infinita
Seria transformar em uma equação infinita
Última edição: snooplammer (Seg 22 Jan, 2018 18:29). Total de 1 vez.
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Jan 2018
22
18:36
Re: (IME) Equação Irracional
Solução do Daniel Viana do grupo Rumo ao ITA
[tex3](x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd[/tex3]
Igualando os coeficientes
[tex3]a+c=0[/tex3]
[tex3]b+d+ac=-10[/tex3]
[tex3]ad +bc=1[/tex3]
[tex3]bd=20[/tex3]
Resolvendo temos que [tex3]c=-a[/tex3] logo
[tex3]a(d-b)=1[/tex3] , vamos chutar [tex3]a=1[/tex3]
[tex3]d-b=1[/tex3]
[tex3]b+d=-9[/tex3]
[tex3]d=-4[/tex3] e [tex3]b=-5[/tex3] e todas as equações batem
logo fatoramos como:
[tex3](x^2+x-5)(x^2-x-4)[/tex3]
Última edição: snooplammer (Seg 22 Jan, 2018 18:41). Total de 1 vez.
Jan 2018
22
18:39
Re: (IME) Equação Irracional
[tex3]5 = a [/tex3]
[tex3]\sqrt{a-\sqrt{a-x}}= x[/tex3]
Para: [tex3]5 \geq x \geq 0 [/tex3]
[tex3]-\sqrt{a-x}= x^2-a[/tex3]
Para: [tex3]x^2 - 5 \leq 0\rightarrow -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} [/tex3]
[tex3]x+x^4+a^2-2ax^2 -a=0 [/tex3]
[tex3]x+x^4+a^2+a\cdot (-2x^2-1)=0 [/tex3]
[tex3]a = \frac{2x^2+1 \pm \sqrt{(-2x^2-1)^2 - 4\cdot 1 \cdot (x+x^4)}}{2}[/tex3]
[tex3]a = \frac{2x^2+1 \pm \sqrt{(2x-1)^2 }}{2}[/tex3]
[tex3]a = \frac{2x^2+1 \pm |2x-1| }{2}[/tex3]
[tex3]5 = \frac{2x^2+1 \pm |2x-1| }{2}[/tex3]
Daí é basta resolver o módulo, sempre lembrando que [tex3]0 \leq x \leq \sqrt{5} [/tex3]
[tex3]\sqrt{a-\sqrt{a-x}}= x[/tex3]
Para: [tex3]5 \geq x \geq 0 [/tex3]
[tex3]-\sqrt{a-x}= x^2-a[/tex3]
Para: [tex3]x^2 - 5 \leq 0\rightarrow -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} [/tex3]
[tex3]x+x^4+a^2-2ax^2 -a=0 [/tex3]
[tex3]x+x^4+a^2+a\cdot (-2x^2-1)=0 [/tex3]
[tex3]a = \frac{2x^2+1 \pm \sqrt{(-2x^2-1)^2 - 4\cdot 1 \cdot (x+x^4)}}{2}[/tex3]
[tex3]a = \frac{2x^2+1 \pm \sqrt{(2x-1)^2 }}{2}[/tex3]
[tex3]a = \frac{2x^2+1 \pm |2x-1| }{2}[/tex3]
[tex3]5 = \frac{2x^2+1 \pm |2x-1| }{2}[/tex3]
Daí é basta resolver o módulo, sempre lembrando que [tex3]0 \leq x \leq \sqrt{5} [/tex3]
Última edição: Ittalo25 (Seg 22 Jan, 2018 18:40). Total de 2 vezes.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Jan 2018
22
18:40
Re: (IME) Equação Irracional
Observe:
x⁴ - 10x² + x + 20 = 0
Como - 10x² = - 5x² - x² - 4x² , x = 5x - 4x e x³ - x³ = 0 , temos:
x⁴ - 5x² - x² - 4x² + 5x - 4x + x³ - x³ = 0
Arrumando...
x⁴ + x³ - 5x² - x³ - x² + 5x - 4x² - 4x + 20 = 0
Agora vamos colocar na forma fatorada, vem;
x²( x² + x - 5 ) - x( x² + x - 5 ) - 4( x² + x - 5 ) = 0
Logo;
( x² + x - 5 ).( x² - x - 4 ) = 0
As raízes são :
[tex3]x_{1} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}[/tex3]
[tex3]x_{2} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}[/tex3]
[tex3]x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}[/tex3]
[tex3]x_{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}[/tex3]
Fazendo a verificação, a única raíz que satisfaz a equação irracional é :
[tex3]x_{2} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}[/tex3]
Logo;
S = { [tex3]-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}[/tex3] }
Abraços!!
x⁴ - 10x² + x + 20 = 0
Como - 10x² = - 5x² - x² - 4x² , x = 5x - 4x e x³ - x³ = 0 , temos:
x⁴ - 5x² - x² - 4x² + 5x - 4x + x³ - x³ = 0
Arrumando...
x⁴ + x³ - 5x² - x³ - x² + 5x - 4x² - 4x + 20 = 0
Agora vamos colocar na forma fatorada, vem;
x²( x² + x - 5 ) - x( x² + x - 5 ) - 4( x² + x - 5 ) = 0
Logo;
( x² + x - 5 ).( x² - x - 4 ) = 0
As raízes são :
[tex3]x_{1} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}[/tex3]
[tex3]x_{2} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}[/tex3]
[tex3]x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}[/tex3]
[tex3]x_{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}[/tex3]
Fazendo a verificação, a única raíz que satisfaz a equação irracional é :
[tex3]x_{2} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}[/tex3]
Logo;
S = { [tex3]-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}[/tex3] }
Abraços!!
Última edição: Cardoso1979 (Seg 22 Jan, 2018 18:44). Total de 1 vez.
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22
18:45
Re: (IME) Equação Irracional
É interessante que, assumindo que a equação seja infinita chegaríamos a equação do [tex3]2º[/tex3]
Que é uma das equações da forma fatorada e contém a única solução do problema, como o colega falou acima
grau [tex3]x^2+x-5=0[/tex3]
Que é uma das equações da forma fatorada e contém a única solução do problema, como o colega falou acima
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Jan 2018
22
19:16
Re: (IME) Equação Irracional
[tex3]\sqrt{5-x}=a\\
\sqrt{5-a}=x\\
5-x=a^2\\
5-a=x^2\\
a-x=a^2-x^2\\
(a-x)=(a-x)(a+x)[/tex3]
Duas soluções:
[tex3]a-x=0\\
a+x=1[/tex3]
E termina-se com aplicação de Baskara.
\sqrt{5-a}=x\\
5-x=a^2\\
5-a=x^2\\
a-x=a^2-x^2\\
(a-x)=(a-x)(a+x)[/tex3]
Duas soluções:
[tex3]a-x=0\\
a+x=1[/tex3]
E termina-se com aplicação de Baskara.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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Jan 2018
22
19:31
Re: (IME) Equação Irracional
Ótima solução Andre13000!
Última edição: MatheusBorges (Seg 22 Jan, 2018 19:33). Total de 1 vez.
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi
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