Ensino SuperiorDevirada por definição Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

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juremilda
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Devirada por definição

Mensagem não lida por juremilda »

Derivar por definição cos(2x)




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LucasPinafi
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Jun 2016 19 20:14

Re: Devirada por definição

Mensagem não lida por LucasPinafi »

f'(x) = \lim_{h \to 0 } \frac{\cos(2(x+h)) - \cos (2x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos (2x) \cos 2h - \sin 2x \sin 2h - \cos 2x}{h}\\ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos (2x) [\cos h - 1]}{h}- \lim_{h \to 0} \frac{\sin 2x \cdot \sin 2h}{h}
Como:
\lim_{h \to 0 } \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\cos h - 1) (\cos h + 1) }{h (\cos h + 1) }= \lim_{h \to 0 } \frac{\cos^2 h -1}{h(\cos h+1)}= \lim_{h \to 0} \frac{- \sin^2 h}{h(\cos h +1)}
Lembrando do limite fundamental: \lim_{h \to 0} \frac{ \sin h}{h} = 1, segue que:
\lim_{h \to 0} \frac{\cos h -1}{h} = -\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{\cos h +1}
O primeiro dos limites acima é o limite fundamental, portanto vale 1, já o segundo se anula, pois o numerador vai para zero (já que sin (0) = 0) e o denominador vai para 2, (já que cos (0) =1). Portanto, \lim_{h \to 0} \frac{\cos h -1}{h}=0. Segue que:
f'(x) =- \lim_{h \to 0} \sin (2x) \frac{\sin 2 h}{h}= - \sin (2x) \lim_{h \to 0} \frac{\sin 2h}{h} = -2 \sin (2x) \lim_{h \to 0} \frac{\sin 2h}{2h}
Repare que o último limite é novamente o limite fundamental, Portanto,
f'(x) = -2 \sin (2x)

Última edição: LucasPinafi (Dom 19 Jun, 2016 20:14). Total de 1 vez.


Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

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