Ensino Médio

Simplifique:
$N=\frac{\sqrt{2-\sqrt{1}}+\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{1}}+\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

Resposta

$N=\sqrt{2}-1$

$N=\frac{\sqrt{2-1}+\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+1}+\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

$N=\frac{\sqrt{1-\frac{1}{2}}+\sqrt{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}+\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}+\sqrt{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}$

$N=\frac{\sqrt{1-cos(60^o)}+\sqrt{1-cos(45^o)}+\sqrt{1-cos(30^o)}}{\sqrt{1+cos(60^o)}+\sqrt{1+cos(45^o)}+\sqrt{1+cos(30^o)}}}$

$N=\frac{sen(30^o)+sen\left(\frac{45^o}{2}\right)+sen(15^o)}{cos(30^o)+cos\left(\frac{45^o}{2}\right)+cos(15^o)}}$

$N=\frac{2\cdot sen\left(\frac{45^o}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{15}{2}\right) +sen\left(\frac{45^o}{2}\right)}{2\cdot cos\left(\frac{45^o}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{15}{2}\right) +cos\left(\frac{45^o}{2}\right)}$

$N=\frac{ sen\left(\frac{45^o}{2}\right) \cdot (2cos\left(\frac{15}{2}\right) +1)}{cos\left(\frac{45^o}{2}\right) \cdot (2cos\left(\frac{15}{2}\right) +1)}$

$N=tg\left(\frac{45^o}{2}\right)$

$N=\sqrt{\frac{1-cos(45^o)}{1+cos(45^o)}}$

$N=\sqrt{2}-1$

Também tinha resolvido assim... Mas olha o seguinte:
$\sqrt{\frac{1-cos(45)}{1+cos(45)}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}}$
Que é justamente o que aparece no meio da expressão. Teoricamente se colocarmos em evidência o termo do meio no numerador e o termo do meio no denominador, deveríamos obter algo igual que pudessemos cancelar, sobrando só a expressão acima, mas não consegui fazer isso. Já chegou a tentar?

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