Ensino Médio

Deixar aqui um desafio que fiz quando tava de bobeira. Já deve ter aparecido em algum lugar mas nunca vi.

Calcular a área do triângulo retângulo ABC em função de $R$ e $r$

Fiz um monte de contas e cheguei a:
$A=\frac{8R^3 \cdot r \cdot \sqrt{R\cdot r}}{\left(6R \cdot r-R^2-r^2\right) \cdot (R-r)}$

Gostaria de saber se bate ou não com sua resposta antes de publicar no fórum, pois posso ter cometido erros.

Grato

Valdecir

É isso aí

Pode mandar.

Consideremos a figura:

: triângulo retângulo3.jpg (11.25 KiB) Exibido 708 vezes

Consideremos o $\Delta EKD$ , retângulo em K:
Aplicando o teorema de Pitágoras:
$\left(\overline{ED}\right)^2=\left(\overline{KD}\right)^2+\left(\overline{EK}\right)^2$
$\left(R+r\right)^2=\left(R-r\right)^2+x^2$
$\cancel{R^2}+2Rr+\cancel{r^2}=\cancel{R^2}-2Rr+\cancel{r^2}+x^2$
$x^2=4Rr$
$x=2\sqrt{Rr}\,\,\,\,\,\, (I)$

$\Delta ABC \sim \Delta EKD$ :
$\frac{\left(\overline{AB}\right)}{\left(\overline{BD}\right)}=\frac{\left(\overline{EK}\right)}{\left(\overline{KD}\right)}$
$\frac{C_1}{R}=\frac{x}{R-r}$
$\frac{C_1}{R}=\frac{2\sqrt{Rr}}{R-r}$
$C_1=\frac{2R\sqrt{Rr}}{R-r}\,\,\,\,\,\,\, (II)$

Consideremos o triângulo $DHC$ retângulo em H:
Aplicando o Teorema de Pitágoras:
$\left(\overline{DC}\right)^2=\left(\overline{DH}\right)^2+\left(\overline{HC}\right)^2$
$\left(C_2-R\right)^2=R^2+y^2$
$C_2^2-2C_2R+\cancel{R^2}=\cancel{R^2}+y^2$
$y=\sqrt{C_2^2-2C_2R} \,\,\,\,\,\, (III)$

$\Delta ABC \sim \Delta DHC$
$\frac{\left(\overline{AB}\right)}{\left(\overline{BC}\right)}=\frac{\left(\overline{DH}\right)}{\left(\overline{HC}\right)}$
$\frac{C_1}{C_2}=\frac{R}{y}$

Substituindo II e III na equação acima:
$\frac{\frac{2R\sqrt{Rr}}{R-r}}{C_2}=\frac{R}{\sqrt{C_2^2-2C_2R}}$
$\frac{2\sqrt{Rr}}{C_2 \cdot (R-r)}=\frac{1}{\sqrt{C_2^2-2C_2R}}$
$\sqrt{C_2^2-2C_2R}=\frac{C_2 \cdot (R-r)}{2\sqrt{Rr}}$
$C_2^2-2C_2R=\frac{C_2^2 \cdot(R-r)^2}{4Rr}$
$1-\frac{2R}{C_2}=\frac{(R-r)^2}{4Rr}$
$1-\frac{(R-r)^2}{4Rr}=\frac{2R}{C_2}$
$\frac{4Rr-R^2+2Rr-r^2}{4Rr}=\frac{2R}{C_2}$
$C_2=\frac{8R^2r}{6Rr-R^2-r^2} \,\,\,\, (IV)$

A área do $\Delta ABC$ é dada por:
$A_{\Delta ABC}=\frac{C_1 \cdot C_2}{2}$
Substituindo II e IV:
$A_{\Delta ABC}=\frac{\frac{2R\sqrt{Rr}}{R-r}\cdot \frac{8R^2r}{6Rr-R^2-r^2} }{2}$
$\boxed{A_{\Delta ABC}=\frac{8\cdot R^3 \cdot r \cdot \sqrt{Rr}}{(R-r) \cdot \left(6Rr -R^2-r^2\right)}}$

Espero ter ajudado!

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