Ensino Superior ⇒ Integrall dupla - coordenada polar

[ftellesp]

pede na questão para transformar a coordenada cartesiana para polar e calcular a integral.

[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{0}^{1-x^2}(1+x^2+y^2)^2dydx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{0}^{1-x^2}(1+x^2+y^2)^2dydx[/tex3]

[Rafa2604]

[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{0}^{1-x^2}(1+x^2+y^2)^2dydx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{0}^{1-x^2}(1+x^2+y^2)^2dydx[/tex3]

Ao desenhar os limites, vemos que se trata de uma parábola, variando de -1 a 1.
Como [tex3]0 \leq y \leq 1-x^{2}[/tex3]

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[tex3]0 \leq y \leq 1-x^{2}[/tex3]

, então em coord. polares temos que: [tex3]0 \leq rsen\theta \leq 1-r^{2}cos^{2}\theta \rightarrow 0 = rsen\theta \; e \; 0 = 1 - r^{2}sen^{2}\theta[/tex3]

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[tex3]0 \leq rsen\theta \leq 1-r^{2}cos^{2}\theta \rightarrow 0 = rsen\theta \; e \; 0 = 1 - r^{2}sen^{2}\theta[/tex3]

.
Do primeiro resultado, temos que [tex3]0 \leq \theta \leq \pi[/tex3]

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[tex3]0 \leq \theta \leq \pi[/tex3]

e do segundo temos [tex3]0 \leq r \leq 1/cos\theta[/tex3]

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[tex3]0 \leq r \leq 1/cos\theta[/tex3]

.
Como temos que: [tex3]x = rcos\theta, y = rsen\theta,[/tex3]

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[tex3]x = rcos\theta, y = rsen\theta,[/tex3]

então [tex3]x^{2}+y^{2}=r^{2}cos^{2}\theta+r^{2}sen^{2}\theta = r^{2}[/tex3]

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[tex3]x^{2}+y^{2}=r^{2}cos^{2}\theta+r^{2}sen^{2}\theta = r^{2}[/tex3]

, então a integral fica igual:
[tex3]\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\frac{1}{cos\theta}}(1+r^{2})^2rdrd\theta = \int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\frac{1}{cos\theta}}(r+2r^{3}+r^{5})drd\theta = \int\limits_0^{\pi} [\frac{r^{2}}{2}+\frac{r^{4}}{2}+\frac{r^{6}}{6}]_0^{\frac{1}{cos\theta}}d\theta = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\pi} [r^{2}+r^{4}+\frac{r^{6}}{3}]_0^{\frac{1}{cos\theta}}d\theta = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\pi} sec^{2}\theta + sec^{4}\theta + \frac{sec^{6}}{3}d\theta[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\frac{1}{cos\theta}}(1+r^{2})^2rdrd\theta = \int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\frac{1}{cos\theta}}(r+2r^{3}+r^{5})drd\theta = \int\limits_0^{\pi} [\frac{r^{2}}{2}+\frac{r^{4}}{2}+\frac{r^{6}}{6}]_0^{\frac{1}{cos\theta}}d\theta = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\pi} [r^{2}+r^{4}+\frac{r^{6}}{3}]_0^{\frac{1}{cos\theta}}d\theta = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\pi} sec^{2}\theta + sec^{4}\theta + \frac{sec^{6}}{3}d\theta[/tex3]

Utilizando a fórmula da redução da secante e o wolfram temos:
[tex3]= \frac{1}{2} [\frac{1}{45}tg\theta(3sec^{4}\theta+19sec^{3}\theta+83)]_0^{\pi}[/tex3]

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[tex3]= \frac{1}{2} [\frac{1}{45}tg\theta(3sec^{4}\theta+19sec^{3}\theta+83)]_0^{\pi}[/tex3]

A resposta não parece muito certa, acho que estou errando algo nos limites. :/

[Radius]

é um semi-círculo os limites?
não é uma parábola?

[Rafa2604]

é um semi-círculo os limites?
não é uma parábola?

Tu tens razão, ajeitarei minha resposta. Obrigada pela correção.

[Radius]

acho que foi erro de digitação na questão, era pra ser [tex3]\sqrt{1-x^2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{1-x^2}[/tex3]

.
Mas se for realmente [tex3]1-x^2[/tex3]

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[tex3]1-x^2[/tex3]

vai dar um trabalhão...

[LucasPinafi]

Se for [tex3]1-x^2[/tex3]

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[tex3]1-x^2[/tex3]

irá dar um trabalhão mesmo. Passando para polares, vemos que [tex3]0\leq \theta \leq \pi[/tex3]

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[tex3]0\leq \theta \leq \pi[/tex3]

, e para [tex3]0\leq y\leq 1-x^2[/tex3]

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[tex3]0\leq y\leq 1-x^2[/tex3]

, temos que resolver a equação para [tex3]\rho[/tex3]

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[tex3]\rho[/tex3]

, [tex3]\rho \sin \theta = -\rho^2 \cos^2 \theta +1 \therefore \rho^2 \cos^2 \theta + \rho \sin \theta -1 =0[/tex3]

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[tex3]\rho \sin \theta = -\rho^2 \cos^2 \theta +1 \therefore \rho^2 \cos^2 \theta + \rho \sin \theta -1 =0[/tex3]

. Logo, [tex3]\rho = \frac{-\sin \theta \pm \sqrt{\sin^2 \theta+4 \cos^2 \theta}}{2\cos^2 \theta}[/tex3]

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[tex3]\rho = \frac{-\sin \theta \pm \sqrt{\sin^2 \theta+4 \cos^2 \theta}}{2\cos^2 \theta}[/tex3]

e, portanto, a região em coordenadas polares será: [tex3](\rho , \theta) \in \mathbb{R}^2: 0\leq\theta\leq \pi , 0 \leq \rho \leq \frac{-\sin \theta + \sqrt{1+3\cos^2 \theta}}{2\cos^2 \theta}[/tex3]

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[tex3](\rho , \theta) \in \mathbb{R}^2: 0\leq\theta\leq \pi , 0 \leq \rho \leq \frac{-\sin \theta + \sqrt{1+3\cos^2 \theta}}{2\cos^2 \theta}[/tex3]