a) No primeiro processo há [tex3]8[/tex3] quadradinhos de lado [tex3]\dfrac{1}{3}[/tex3] ; no segundo cada quadradinho de lado [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] será dividido em [tex3]8[/tex3] quadradinhos (e um será retirado) de lado [tex3]\left(\frac{1}3\right)^2[/tex3] . Admita que no k-ésimo processo haja [tex3]8^k[/tex3] quadrados de lado [tex3]\left(\dfrac{1}3 \right)^k[/tex3] . No k+1-ésimo processo, cada um dos [tex3]8^k [/tex3] quadradinho será dividido em outros [tex3]9[/tex3] (dos quais [tex3]8[/tex3] não serão removidos) de lado [tex3]\left(\frac{1}3 \right)^{k+1}[/tex3] . Então no k+1-ésimo processo haverão [tex3]8\cdot 8^k=8^{k+1}[/tex3] quadradinhos de lado [tex3]\frac{1}{3^{k+1}}[/tex3] . O resultado segue pelo PIF.
b) Como verificamos no item anterior, no n-ésimo processo haverão [tex3]8^n[/tex3] quadrados não removidos de lado [tex3]\left(\frac{1}3 \right)^n[/tex3] . Logo a área dos quadrados não removidos será [tex3]8^n\cdot \left(\frac{1}3 \right)^{2n}=\left(\frac{8}9 \right)^n[/tex3] e , consequentemente, a área dos quadrados removidos será [tex3]1-\left(\frac{8}9 \right)^n[/tex3] . Assim, queremos calcular
[tex3]\lim_{n \to \infty} 1-\left(\dfrac{8}9 \right)^n=1-\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{8}9 \right)^n=1-0=1[/tex3] .
Outra solução (mais bacana) seria:
No primeiro processo é removido um quadrado de área [tex3]\dfrac{1}{9}[/tex3] , no segundo são removidos [tex3]8[/tex3] quadrados de área [tex3]\dfrac{1}{81}[/tex3] ... no k-ésimo processo são formados [tex3]8^{k-1}[/tex3] quadrados cada um de área [tex3]\left(\frac{1}3 \right)^{2k}[/tex3] .
Assim queremos calcular a seguinte série [tex3]\dfrac{1}{3^2}+8\cdot \dfrac{1}{3^4}+8^2\cdot \dfrac{1}{3^6}+...[/tex3] que é a soma dos termos de uma PG de razão [tex3]\dfrac{8}{3^2}[/tex3] e termo inicial [tex3]\dfrac{1}{9}[/tex3] que é [tex3]\dfrac{\frac{1}{9}}{1-\frac{8}{9}}=1[/tex3] .
Questão 71
(ITA-94) Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo e A, B e C os ângulos internos opostos, respectivamente, a cada um destes lados. Sabe-se que a, b, c, nesta ordem, formam uma progressão aritmética. Se o perímetro do triângulo mede 15 cm e
[tex3]\dfrac{cos~A}{a}+\dfrac{cos~B}{b}+\dfrac{cos~C}{c}=\dfrac{77}{240}[/tex3]
Então a área do quadrado mede
a)[tex3]\frac{15~\sqrt{7}}{4}[/tex3]
b)[tex3]\frac{4~\sqrt{5}}{3}[/tex3]
c)[tex3]\frac{4~\sqrt{5}}{5}[/tex3]
d)[tex3]\frac{4~\sqrt{7}}{7}[/tex3]
e)[tex3]\frac{3~\sqrt{5}}{4}[/tex3]
a)