IME / ITA ⇒ (AFA - 1995) Geometria Plana Tópico resolvido

[futuromilitar]

No retângulo ABCD, BC e PC medem, respectivamente, 5 cm e 3 cm. Qual a área, em cm², do triângulo ABP ?

triangulo.png (12.53 KiB) Exibido 2537 vezes

a) [tex3]\frac{32}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{32}{3}[/tex3]

b) [tex3]16[/tex3]

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[tex3]16[/tex3]

c) [tex3]19[/tex3]

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[tex3]19[/tex3]

d) [tex3]\frac{62}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{62}{3}[/tex3]

[Ittalo25]

Definindo: [tex3]AB = DC = x\rightarrow AC = \sqrt{25 + x^2}[/tex3]

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[tex3]AB = DC = x\rightarrow AC = \sqrt{25 + x^2}[/tex3]

Temos que:

[tex3]AP^2 + PB^2 = AB^2[/tex3]

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[tex3]AP^2 + PB^2 = AB^2[/tex3]

[tex3](AC - 3)^2 + 4^2 = x^2[/tex3]

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[tex3](AC - 3)^2 + 4^2 = x^2[/tex3]

[tex3](\sqrt{25 + x^2} - 3)^2 + 4^2 = x^2[/tex3]

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[tex3](\sqrt{25 + x^2} - 3)^2 + 4^2 = x^2[/tex3]

[tex3]x = \frac{20}{3}[/tex3]

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[tex3]x = \frac{20}{3}[/tex3]

A área pedida:

[tex3]\frac{AP\cdot BP}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{AP\cdot BP}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{(\sqrt{25 + x^2} - 3) \cdot 4}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{(\sqrt{25 + x^2} - 3) \cdot 4}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{(\sqrt{25 + \frac{400}{9}} - 3) \cdot 4}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{(\sqrt{25 + \frac{400}{9}} - 3) \cdot 4}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{32}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{32}{3}[/tex3]

[futuromilitar]

Muito bom, mas tem como me explicar a parte que resulta em [tex3]\frac{20}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{20}{3}[/tex3]

?? Fiquei confuso. Abçs

[jvmago]

o Triangulo PBC é pitagórico logo PB = 4. Sendo o triangulo abc retangulo e PB a altura relativa a hipotenusa temos que (4)^2 = 3*PA -----> PA = 16/3.

AREA = (4*16/3)/2 = 32/3

[Catador]

Eu vou sugerir uma solução alternativa usando trigonometria, muitas vezes quando pegamos exercícios onde o ângulo de uma figura se repete em outro, podemos achar alguma relação trigonométrica numérica na primeira figura e jogar para a segunda figura. Isso já me salvou em vários exercícios da fuvest que eles colocam umas figuras malucas e aparentemente não há conexão entre os dados e a variável procurada.

Resolução:
I)No triângulo retângulo BCP temos por Pitágoras que BC²=CP²+BP²=>5²=3²+BP²=>BP=4cm
II)No triângulo BCP temos que tgBCP=[tex3]\frac{4}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{4}{3}[/tex3]

III)Veja que o ângulo BCP = ângulo ABP (aqui foi a ideia do transporte do ângulo que citei no enunciado), logo tgBCP=tgABP=[tex3]\frac{4}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{4}{3}[/tex3]

IV)No triângulo retângulo ABP temos que tgABP=[tex3]\frac{AP}{BP}[/tex3]

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[tex3]\frac{AP}{BP}[/tex3]

, assim, [tex3]\frac{4}{3} = \frac{AP}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{4}{3} = \frac{AP}{4}[/tex3]

=>AP=[tex3]\frac{16}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{16}{3}[/tex3]

V)A área do triânguloABP =[tex3]\frac{AP.BP}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{AP.BP}{2}[/tex3]

A área do triânguloABP =[tex3]\frac{\frac{16}{3}.4}{2} = \frac{32}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{\frac{16}{3}.4}{2} = \frac{32}{3}[/tex3]

[tex3]cm^{2}[/tex3]

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[tex3]cm^{2}[/tex3]