Pré-Vestibular ⇒ (Unimontes-MG 2010) Geometria Plana

[Ana29Carolina]

Gostaria de saber como começar a fazer essa questão:

Determine o perímetro do triângulo ARS da figura, onde AB e AC medem 15cm e 18cm, respectivamente, sendo BQ e CQ as bissetrizes dos ângulos

Código: Selecionar tudo

[tex3]\hat B[/tex3]

e

Código: Selecionar tudo

[tex3]\hat C[/tex3]

do triângulo ABC e RS paralelo a BC.

Screen Shot 2016-05-18 at 15.34.10.png (16.45 KiB) Exibido 10033 vezes

Resposta

---

A resposta é 33 cm.

[fabit]

A distância de A até B é de 15cm, certo? Essa distância é AR+RB. O pedaço AR faz parte do perímetro que você procura. Se o outro pedaço, RB, puder ser trocado por algo que também faça parte do perímetro, isso ajuda.

E como você vai saber se pode trocar RB por um pedaço de RS? Os ângulos congruentes que se formam devido às propriedades do paralelismo e também da definição de bissetriz devem servir de justificativa.

Não quero estragar sua conquista da questão, portanto paro por aqui. Se não conseguir com as dicas acima, grite!

[Ana29Carolina]

Muito obrigada! Consegui resolver a questão através de sua ajuda, usando o seguinte raciocínio: AR+RB=15 cm então, AR+RS=15cm. AS+SC=18cm então, AS+SR=18 cm; portanto P(ARS)= 15+18=33cm. Está correto ?

[fabit]

Infelizmente não. Nem RB nem SC são congruentes a RS. E se fossem, a soma 15+18 estaria contabilizando RS duas vezes e não daria o perímetro.

O certo é RB=RQ e SC=SQ e aí sim o perímetro é (AR+RQ)+(QS+SA)=15+18=33.

Mas falta explicar OS MOTIVOS pelos quais se pode garantir que RB=RQ e SC=SQ.

É que os ângulos RQB e QBC são alternos internos e como BQ é bissetriz, ficam congruentes os ângulos RBQ e RQB. Conclui-se que o triângulo BRQ é isósceles com RB=RQ.

Analogamente, você descobre que o triângulo SCQ é isósceles de base CQ (SC=SQ).

Aí fica perfeito.

[Marcos]

Infelizmente não. Nem RB nem SC são congruentes a RS. E se fossem, a soma 15+18 estaria contabilizando RS duas vezes e não daria o perímetro.

O certo é RB=RQ e SC=SQ e aí sim o perímetro é (AR+RQ)+(QS+SA)=15+18=33.

Mas falta explicar OS MOTIVOS pelos quais se pode garantir que RB=RQ e SC=SQ.

É que os ângulos RQB e QBC são alternos internos e como BQ é bissetriz, ficam congruentes os ângulos RBQ e RQB. Conclui-se que o triângulo BRQ é isósceles com RB=RQ.

Analogamente, você descobre que o triângulo SCQ é isósceles de base CQ (SC=SQ).

Aí fica perfeito.

Olá Ana29Carolina.Observe a solução com um complemento do companheiro fabit.

(Unimontes-MG 2010) Geometria Plana.png (7.19 KiB) Exibido 10017 vezes

Código: Selecionar tudo

[tex3]\overline{RS}\parallel\overline{BC}\rightarrow\begin{cases}
R\hat{Q}B=Q\hat{B}C \ (alternos) \\
S\hat{Q}C=Q\hat{C}B \ (alternos)
\end{cases}\rightarrow\begin{cases}
\triangle_{RBQ} \ e \ isosceles \\
\triangle_{SCQ} \ e \ isosceles
\end{cases}\rightarrow\begin{cases}
RQ=RB\\
QS=SC
\end{cases}[/tex3]

Temos:
O perímetro do

Código: Selecionar tudo

[tex3]\triangle_{ARS}=(AR+RQ)+(QS+AS)=(AR+RB)+(SC+AS)=15+18=33[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]\blacktriangleright[/tex3]

Determine o perímetro do triângulo

Código: Selecionar tudo

[tex3]ARS[/tex3]

da figura

Código: Selecionar tudo

[tex3]\Longrightarrow \boxed{\boxed{33 \ cm}}[/tex3]

Resposta:

Código: Selecionar tudo

[tex3]33 \ cm[/tex3]

[Ana29Carolina]

Muito obrigada a todos pelas respostas ! Ficou um pouco mais claro.