Pré-Vestibular

A relações senx=[tex3]\frac{\sqrt{1+k}}{2}[/tex3] e tgx=[tex3]\frac{\sqrt{1+k}}{k-1}[/tex3] são satisfeitas para valores de k. O produto desses valores de k é :

a) 2
b) -1
c) 0
d) 1

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 18 Mai 2016, 14:58 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 18 Mai 2016, 14:58

[tex3]-1 \leq \frac{\sqrt{1+k}}{2} \leq 1[/tex3]

[tex3]-1 \leq k \leq 3[/tex3]

Logo:

[tex3]0 \leq tgx \leq 1[/tex3]

Obviamente [tex3]k = -1[/tex3] é solução, porque teríamos: [tex3]senx = tgx = 0[/tex3]

Mas para [tex3]k \neq -1[/tex3] , o seno vai ser positivo e a tangente também, logo o cosseno também será positivo. Isso significa que o ângulo x está no primeiro quadrante e por consequência pode ser o ângulo de um triângulo retângulo com catetos: [tex3]\sqrt{k+1}[/tex3] , [tex3]k-1[/tex3] e hipotenusa igual a 2.

Por Pitágoras:

[tex3](\sqrt{k+1})^2 + (k-1)^2 = 2^2[/tex3]

[tex3]k^2 - k -2 = 0[/tex3]

[tex3]k = -1[/tex3] ou [tex3]k = 2[/tex3]

O produto dos valores possíveis para k é [tex3]-2[/tex3]

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