Questões Perdidas ⇒ Dinâmica - Leis de Newton

[Cientista]

Um bloco de massa [tex3]m[/tex3], se comporta como uma partícula de material, é abandonado no ponto mais alto de uma calote esférica, de raio [tex3]r[/tex3], com velocidade desprezível e desliza ao longo desta. Mostre por condições energéticas, que a expressão que permite determinar o valor da velocidade do bloco, antes de perder o contacto com a superfície é

[tex3]V=\sqrt{2\cdot g\cdot r\cdot (1-\sen\theta)}[/tex3]

[passione]

Acho que a física do problema está em pensar que quando a partícula permanece no topo da calota, há um peso e uma normal atuando na partícula na mesma direção, mas em sentidos contrários. Quando a partícula deixa a superfície, a normal deixa de atuar, restando só o peso.
Pode definir [tex3]\theta[/tex3] como sendo o ângulo entre uma reta vertical perpendicular à superfície da calota que passa pelo topo da mesma, e o vetor posição da partícula, sendo o sistema de coordenadas definido no centro da calota, centro da parte convexa.
Perceba que quando [tex3]\theta[/tex3] aumenta, a componente y da normal diminui, e a x aumenta, de modo que [tex3]\vec{N}+m\vec{g} = 0[/tex3]. Chega certo ponto em que a componente y da normal some, tendo apenas o peso na direção y, portanto tendo uma força resultante. É nesse ponto em que a partícula deixa a superfície.

Se você puder determinar a qual ângulo [tex3]\theta[/tex3] isso ocorre, você pode usar a conservação de energia para determinar a velocidade da partícula nesse momento.

[JaimeMoran]

A energia potencial no topo da esfera é Ep=mgh e a energia cinética no limite de perder o contato é Ec=mv²/2

Sendo assim:
mgh=mv²/2
gh=v²/2
v²=2.g.h

Sendo h=sen(a).r

v²=2.g.r.sen(a)

v²=2.g.r.(1-sen(a)) , limitando o ângulo à 90º