Concursos Públicos

Mensagem não lidapor **ALDRIN** » 23 Mar 2016, 12:45 · Mensagem não lida por **ALDRIN** » 23 Mar 2016, 12:45

Considere, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais [tex3]\text{x}O\text{y}[/tex3] , a região de área finita e limitada pelos gráficos das funções [tex3]f(\text{x}) = \text{x}^2[/tex3] e [tex3]g(\text{x}) = 9[/tex3] . Se a reta [tex3]\text{y} = K[/tex3] divide essa região em duas partes de áreas iguais, então [tex3]K[/tex3] é tal que

(A) [tex3]K^3=27[/tex3]
(B) [tex3]K^{\frac{3}{2}}=\frac{27}{2}[/tex3]
(C) [tex3]K^3=\frac{9}{2}[/tex3]
(D) [tex3]K^{\frac{3}{2}}=\frac{9}{4}[/tex3]
(E) [tex3]K^3=\frac{27}{16}[/tex3]

Mensagem não lidapor **undefinied3** » 23 Mar 2016, 13:18 · 23 Mar 2016, 13:18

Primeiramente, encontramos o intervalo em que essa região está no gráfico.
$f(x)=g(x) \rightarrow x^2=9 \rightarrow x=\pm3$
Calculando a área:
$\int\limits_{-3}^{3}(g(x)-f(x)) dx=\int\limits_{-3}^{3}(9-x^2) dx=\left (9x-\frac{x^3}{3} \right )|^{+3}_{-3} =$
$9*3-9+9*3-9=36$
Queremos então uma reta que $y=K$ que irá cortar $f(x)$ nos pontos $\pm\sqrt{K}$ e delimite uma área de 18 unidades.
$\int\limits_{-\sqrt{K}}^{\sqrt{K}}(K-x^2) dx=18 \rightarrow (Kx-\frac{x^3}{3})|^{+\sqrt{K}}_{-\sqrt{K}}=18$
$K\sqrt{K}-\frac{\sqrt{K^3}}{3}+K\sqrt{K}-\frac{\sqrt{K^3}}{3}=18$
$K\sqrt{K}-\sqrt{K^3}=27 \rightarrow 2\sqrt{K^3}=27 \rightarrow K^{\frac{3}{2}}=\frac{27}{2}$

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