Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **ALDRIN** » Seg 14 Mar, 2016 12:59 · Mensagem não lida por **ALDRIN** » Seg 14 Mar, 2016 12:59

Considere [tex3]a\ >\ b\ >\ 0[/tex3] , determine o quociente entre a menor e a maior das raízes da equação em [tex3]\text{x}[/tex3] .

[tex3]\frac{1}{\text{x}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{\text{x}+a+b}[/tex3]

(A) [tex3]\frac{a}{b}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{b}{a}[/tex3]
(C) [tex3]ab[/tex3]
(D) [tex3]a+b[/tex3]
(E) [tex3]1[/tex3]

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}=\frac{1}{a+b+x}$

$\frac{ab+bx+ax}{abx}=\frac{1}{a+b+x}$

$(ab+bx+ax).(a+b+x)=abx$

Usando a equivalência de Gauss:

$-(a^3+b^3+x^3-3abx)+(a^2+b^2+x^2).(a+b+x)=abx$

$-(a^3+b^3+x^3)+(a^2+b^2+x^2).(a+b+x)+2abx=0$

$-(a^3+b^3+x^3)+a^3 + a^2b + a^2x + ab^2 + ax^2 + b^3+b^2x + bx^2 + c^3+2abx=0$

$a^2b + a^2x + ab^2 + ax^2 +b^2x + bx^2 +2abx=0$

Fatorando:

$(a+b)(a+x)(b+x)=0$

Então:

$\begin{cases} x+a=0\rightarrow x = -a \\ x+b=0\rightarrow x = -b \end{cases}$

Temos que:

$a> b$
$-a< -b$

Assim a questão pede:

$\frac{-a}{-b} =$

$\frac{a}{b}$

Ittalo25, poderia me explicar essa passagem que você utilizou a equivalência de Gauss? Não conheço esse assunto, quanto foi a ideia exatamente para passar para o próximo passo?

undefinied3 escreveu:Ittalo25, poderia me explicar essa passagem que você utilizou a equivalência de Gauss? Não conheço esse assunto, quanto foi a ideia exatamente para passar para o próximo passo?

A equivalência de Gauss é simplesmente uma fatoração para números a,b e c. Geralmente é apresentada assim:

$(a^3+b^3+c^3-3abc) = (a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\cdot (a+b+c)$

Abrindo um pouco:

$(a^3+b^3+c^3-3abc) = (a^2+b^2+c^2)\cdot (a+b+c) - (ab+ac+bc)\cdot (a+b+c)$

$(ab+ac+bc)\cdot (a+b+c) = (a^2+b^2+c^2)\cdot (a+b+c) -(a^3+b^3+c^3-3abc)$

Na questão temos:

$(ab+bx+ax).(a+b+x)=abx$

Daí a ideia de usar essa fatoração.

_____________________________________________________

Em geral fica válido que se:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$

então:

$(a+b)\cdot (a+c) \cdot (b+c) = 0$

____________________________________________________

Aqui tem duas questões onde foi usada essa desigualdade nas resoluções:

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/mat ... 46761.html

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/mat ... 44903.html

Ensino Fundamental ⇒ Álgebra Tópico resolvido

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