IME / ITA ⇒ (EN - 1989) Geometria Plana: Quadriláteros Tópico resolvido

[mvgcsdf]

ABCD é um quadrado de lado 12. E é o ponto do lado CD tal que DE = 4. M é o ponto médio de AE. A mediatriz de AE intercepta o lado BC no ponto Q. Calcule o raio do círculo circunscrito ao quadrilátero EMQC.

A) [tex3]\frac{\sqrt{85}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{85}}{3}[/tex3]

B) [tex3]\frac{2 \sqrt{85}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{2 \sqrt{85}}{3}[/tex3]

C) [tex3]\sqrt{85}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{85}[/tex3]

D) [tex3]\frac{4 \sqrt{85}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{4 \sqrt{85}}{3}[/tex3]

E) [tex3]\frac{\sqrt{85}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{85}}{3}[/tex3]

Achei letra C, mas o gabarito é letra B...

[marco_sx]

Olá mvgcsdf



[tex3](AE)^2=(4)^2+(12)^2=16+144=160 \Rightarrow AE=4\sqrt{10}\Rightarrow AM=ME=2\sqrt{10}[/tex3]

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[tex3](AE)^2=(4)^2+(12)^2=16+144=160 \Rightarrow AE=4\sqrt{10}\Rightarrow AM=ME=2\sqrt{10}[/tex3]

[tex3]\tg\alpha=3 \Rightarrow \tg\beta=-\tg\alpha=-3[/tex3]

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[tex3]\tg\alpha=3 \Rightarrow \tg\beta=-\tg\alpha=-3[/tex3]

[tex3]\sen\beta=-3\cos \beta \Rightarrow 10\cos ^2\beta=1 \Rightarrow \cos \beta=-\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex3]

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[tex3]\sen\beta=-3\cos \beta \Rightarrow 10\cos ^2\beta=1 \Rightarrow \cos \beta=-\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex3]

[tex3](MC)^2=(ME)^2+(CE)^2-2\cdot (ME)\cdot (CE)\cdot \cos \beta \Rightarrow (MC)^2=40+64+2\cdot 2\sqrt{10}\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{10}}{10}[/tex3]

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[tex3](MC)^2=(ME)^2+(CE)^2-2\cdot (ME)\cdot (CE)\cdot \cos \beta \Rightarrow (MC)^2=40+64+2\cdot 2\sqrt{10}\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{10}}{10}[/tex3]

[tex3]MC=2\sqrt{34}[/tex3]

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[tex3]MC=2\sqrt{34}[/tex3]

Sendo [tex3]\sen\beta=\frac{3\sqrt{10}}{10}[/tex3]

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[tex3]\sen\beta=\frac{3\sqrt{10}}{10}[/tex3]

, podemos aplicar lei dos senos no triângulo MCE:
[tex3]\frac{MC}{\sen\alpha}=2R \Rightarrow R=\frac{2\sqrt{85}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{MC}{\sen\alpha}=2R \Rightarrow R=\frac{2\sqrt{85}}{3}[/tex3]

Alternativa B

[mvgcsdf]

Cara, muitíssimo obrigado!!!
Que Deus te abençõe e te ilumine.

[ALANSILVA]

Como achou [tex3]tg(\alpha) =3???[/tex3]

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[tex3]tg(\alpha) =3???[/tex3]

[caju]

Olá ALANSILVA,

Veja que o enunciado fala que [tex3]DE = 4[/tex3]

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[tex3]DE = 4[/tex3]

e o lado do quadrado [tex3]AD=12[/tex3]

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[tex3]AD=12[/tex3]

.

Olhando para o triângulo [tex3]AED[/tex3]

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[tex3]AED[/tex3]

, vemos que [tex3]AD[/tex3]

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[tex3]AD[/tex3]

é cateto oposto à [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

e [tex3]DE[/tex3]

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[tex3]DE[/tex3]

é cateto adjacente. Assim, podemos calcular [tex3]\tan\alpha[/tex3]

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[tex3]\tan\alpha[/tex3]

:

[tex3]\tan\alpha=\frac{AD}{DE}=\frac{12}{4}=3[/tex3]

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[tex3]\tan\alpha=\frac{AD}{DE}=\frac{12}{4}=3[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju