Uma curva tem equação [tex3]y^{2} = x^{3}[/tex3]
. Encontre o comprimento da curva do ponto (1,-1) ao ponto (1,1).
Gab.:[tex3]\frac{2}{27}(13\sqrt{13}-8)[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Parametrização Tópico resolvido
-
Cardoso1979
- Mensagens: 4006
- Registrado em: 05 Jan 2018, 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
- Agradeceu: 268 vezes
- Agradeceram: 1109 vezes
Set 2022
17
08:32
Re: Parametrização
Observe
Eba!!!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com gabarito
Uma solução:
Perceba que,
x³ = y² → x = [tex3]\sqrt[3]{y^2}[/tex3] .
Parametrizando, vem;
y = t → x = t [tex3]^{\frac{2}{3}}[/tex3]
Obs. Se você fizer , y² = x³ → y = ± √( x³ ) e daí, parametrizando, x = t , fica y = ± √( t³ ) , ficaremos com dois valores possíveis para y, o que seria bastante trabalhoso trabalhar com dois valores no desenvolvimento dos cálculos.
Logo:
σ( t ) = ( t [tex3]^{\frac{2}{3}}[/tex3] , t )
Como queremos o comprimento da curva do ponto ( 1 , - 1 ) ao ponto ( 1 , 1 ) , basta encontrar o valor do parâmetro t nesses pontos. No caso, como y( t ) = t , basta olhar para coordenada y e achar o valor, no caso , t = -1 até t = 1.
O comprimento da curva é dada pela forma:
L( C ) = [tex3]\int\limits_{t_0}^{t_f}[/tex3] || σ'( t ) || dt
Então, vamos derivar e calcular a norma de σ'( t ) :
σ'( t ) = [tex3]\left(\frac{2}{3}.t^{-\frac{1}{3}} , 1\right)[/tex3]
Então,
|| σ'( t ) || = [tex3]\sqrt{\left(\frac{2}{3}.t^{-\frac{1}{3}} \right)^2 + 1^2 }[/tex3]
|| σ'( t ) || = [tex3]\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 }[/tex3]
[tex3]L( C ) = \int\limits_{-1}^{1}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt [/tex3]
Chamando , g( t ) = [tex3]\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 }[/tex3]
Note que;
g( - t ) = [tex3]\sqrt{\frac{4}{9}.( - t )^{-\frac{2}{3}}+ 1 }[/tex3]
g( - t ) = [tex3]\sqrt{\frac{4}{9}.( - 1 )^{-\frac{2}{3}}.( t )^{-\frac{2}{3}}+ 1 }[/tex3]
g( t ) = [tex3]\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 }[/tex3] .
Ou seja, temos que g( t ) = g( - t ) , confirmando que g( t ) é uma função par . Para funções pares, vale:
[tex3]L( C ) = \int\limits_{-1}^{1}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt = 2.\int\limits_{0}^{1}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt [/tex3]
Só que temos outro problema , o zero (0) não está definido ! Então, podemos calcular esse comprimento da seguinte forma:
[tex3]L( C ) = 2.\lim_{a \rightarrow \ 0}\int\limits_{a}^{1}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt [/tex3]
Vamos calcular por enquanto a integral sem os limites de integração, temos
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt [/tex3]
u = t [tex3]^{\frac{1}{3}}[/tex3] → du = [tex3]\frac{
1}{3}t^{-\frac{2}{3}}[/tex3] dt .
Podemos ter ainda,
du = [tex3]\frac{1}{3t^{\frac{2}{3}}}[/tex3] dt → 3t [tex3]^{\frac{2}{3}}[/tex3] du = dt → 3.( t [tex3]^{\frac{1}{3}}[/tex3] )[tex3]^{2}[/tex3] du = dt → 3u² du = dt
e
[tex3]t^{-\frac{2}{3}} = ( t^\frac{1}{3} )^{ - 2 } = u^{ - 2 }[/tex3] = 1/u².
Percebeu o truque!?
Substituindo, a integral fica;
[tex3]\int\limits_{}^{}3u^2.\sqrt{\frac{4}{9u^2} + 1} \ du = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}u.3u.\sqrt{\frac{4}{9u^2} + 1} \ du = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}u.\sqrt{9u^2}.\sqrt{\frac{4}{9u^2} + 1} \ du = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}u.\sqrt{ 4 + 9u^2} \ du [/tex3] .
Fazendo outra substituição simples, temos que :
v = 4 + 9u² → dv = 18u du → ( 1/18 ) dv = u du
Assim, a integral fica ;
[tex3]\int\limits_{}^{}u.\sqrt{ 4 + 9u^2} \ du = [/tex3]
[tex3]\frac{1}{18}.\int\limits_{}^{}\sqrt{ v } \ dv = [/tex3]
[tex3]\frac{1}{18}.\int\limits_{}^{} v^{\frac{1}{2}} \ dv = \frac{1}{18}.\frac{2}{3}v^\frac{3}{2} = \frac{v^\frac{3}{2}}{27}[/tex3]
Voltemos para a variável u :
[tex3]\int\limits_{}^{}u.\sqrt{ 4 + 9u^2} \ du = \frac{( 4 + 9u^2 ) ^\frac{3}{2}}{27} [/tex3]
Voltando para a variável t, temos:
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt = \int\limits_{}^{}u.\sqrt{ 4 + 9u^2} \ du = \frac{( 4 + 9u^2 ) ^\frac{3}{2}}{27} [/tex3]
Mas, u = t [tex3]^{\frac{1}{3}}[/tex3] , segue que
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt = \frac{( 4 + 9t^{\frac{2}{3}} ) ^\frac{3}{2}}{27} [/tex3]
Aplicando os limites de integração , vem;
[tex3]\int\limits_{a}^{1}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt = \frac{( 4 + 9t^{\frac{2}{3}} ) ^\frac{3}{2}}{27}|_{t=a}^{t=1} [/tex3]
[tex3]\int\limits_{a}^{1}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt = \frac{13^\frac{3}{2}}{27} -\frac{( 4 + 9a^{\frac{2}{3}} ) ^\frac{3}{2}}{27}[/tex3]
Portanto,
[tex3]L( C ) = 2.\lim_{a \rightarrow \ 0}\int\limits_{a}^{1}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt = 2.\lim_{a \rightarrow \ 0}\left[ \frac{13^\frac{3}{2}}{27} -\frac{( 4 + 9a^{\frac{2}{3}} ) ^\frac{3}{2}}{27}\right][/tex3]
[tex3]L( C ) = 2.\left(\frac{13^\frac{3}{2}}{27} -\frac{ 4^\frac{3}{2}}{27}\right)[/tex3]
L( C ) = ( 2/27 ).[ √( 13².13 ) - √64 ]
L( C ) = ( 2/27 ).[ 13√( 13 ) - 8 ] u.c.
Excelente estudo!
Eba!!!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com gabarito
Uma solução:
Perceba que,
x³ = y² → x = [tex3]\sqrt[3]{y^2}[/tex3] .
Parametrizando, vem;
y = t → x = t [tex3]^{\frac{2}{3}}[/tex3]
Obs. Se você fizer , y² = x³ → y = ± √( x³ ) e daí, parametrizando, x = t , fica y = ± √( t³ ) , ficaremos com dois valores possíveis para y, o que seria bastante trabalhoso trabalhar com dois valores no desenvolvimento dos cálculos.
Logo:
σ( t ) = ( t [tex3]^{\frac{2}{3}}[/tex3] , t )
Como queremos o comprimento da curva do ponto ( 1 , - 1 ) ao ponto ( 1 , 1 ) , basta encontrar o valor do parâmetro t nesses pontos. No caso, como y( t ) = t , basta olhar para coordenada y e achar o valor, no caso , t = -1 até t = 1.
O comprimento da curva é dada pela forma:
L( C ) = [tex3]\int\limits_{t_0}^{t_f}[/tex3] || σ'( t ) || dt
Então, vamos derivar e calcular a norma de σ'( t ) :
σ'( t ) = [tex3]\left(\frac{2}{3}.t^{-\frac{1}{3}} , 1\right)[/tex3]
Então,
|| σ'( t ) || = [tex3]\sqrt{\left(\frac{2}{3}.t^{-\frac{1}{3}} \right)^2 + 1^2 }[/tex3]
|| σ'( t ) || = [tex3]\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 }[/tex3]
[tex3]L( C ) = \int\limits_{-1}^{1}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt [/tex3]
Chamando , g( t ) = [tex3]\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 }[/tex3]
Note que;
g( - t ) = [tex3]\sqrt{\frac{4}{9}.( - t )^{-\frac{2}{3}}+ 1 }[/tex3]
g( - t ) = [tex3]\sqrt{\frac{4}{9}.( - 1 )^{-\frac{2}{3}}.( t )^{-\frac{2}{3}}+ 1 }[/tex3]
g( t ) = [tex3]\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 }[/tex3] .
Ou seja, temos que g( t ) = g( - t ) , confirmando que g( t ) é uma função par . Para funções pares, vale:
[tex3]L( C ) = \int\limits_{-1}^{1}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt = 2.\int\limits_{0}^{1}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt [/tex3]
Só que temos outro problema , o zero (0) não está definido ! Então, podemos calcular esse comprimento da seguinte forma:
[tex3]L( C ) = 2.\lim_{a \rightarrow \ 0}\int\limits_{a}^{1}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt [/tex3]
Vamos calcular por enquanto a integral sem os limites de integração, temos
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt [/tex3]
u = t [tex3]^{\frac{1}{3}}[/tex3] → du = [tex3]\frac{
1}{3}t^{-\frac{2}{3}}[/tex3] dt .
Podemos ter ainda,
du = [tex3]\frac{1}{3t^{\frac{2}{3}}}[/tex3] dt → 3t [tex3]^{\frac{2}{3}}[/tex3] du = dt → 3.( t [tex3]^{\frac{1}{3}}[/tex3] )[tex3]^{2}[/tex3] du = dt → 3u² du = dt
e
[tex3]t^{-\frac{2}{3}} = ( t^\frac{1}{3} )^{ - 2 } = u^{ - 2 }[/tex3] = 1/u².
Percebeu o truque!?
Substituindo, a integral fica;
[tex3]\int\limits_{}^{}3u^2.\sqrt{\frac{4}{9u^2} + 1} \ du = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}u.3u.\sqrt{\frac{4}{9u^2} + 1} \ du = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}u.\sqrt{9u^2}.\sqrt{\frac{4}{9u^2} + 1} \ du = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}u.\sqrt{ 4 + 9u^2} \ du [/tex3] .
Fazendo outra substituição simples, temos que :
v = 4 + 9u² → dv = 18u du → ( 1/18 ) dv = u du
Assim, a integral fica ;
[tex3]\int\limits_{}^{}u.\sqrt{ 4 + 9u^2} \ du = [/tex3]
[tex3]\frac{1}{18}.\int\limits_{}^{}\sqrt{ v } \ dv = [/tex3]
[tex3]\frac{1}{18}.\int\limits_{}^{} v^{\frac{1}{2}} \ dv = \frac{1}{18}.\frac{2}{3}v^\frac{3}{2} = \frac{v^\frac{3}{2}}{27}[/tex3]
Voltemos para a variável u :
[tex3]\int\limits_{}^{}u.\sqrt{ 4 + 9u^2} \ du = \frac{( 4 + 9u^2 ) ^\frac{3}{2}}{27} [/tex3]
Voltando para a variável t, temos:
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt = \int\limits_{}^{}u.\sqrt{ 4 + 9u^2} \ du = \frac{( 4 + 9u^2 ) ^\frac{3}{2}}{27} [/tex3]
Mas, u = t [tex3]^{\frac{1}{3}}[/tex3] , segue que
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt = \frac{( 4 + 9t^{\frac{2}{3}} ) ^\frac{3}{2}}{27} [/tex3]
Aplicando os limites de integração , vem;
[tex3]\int\limits_{a}^{1}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt = \frac{( 4 + 9t^{\frac{2}{3}} ) ^\frac{3}{2}}{27}|_{t=a}^{t=1} [/tex3]
[tex3]\int\limits_{a}^{1}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt = \frac{13^\frac{3}{2}}{27} -\frac{( 4 + 9a^{\frac{2}{3}} ) ^\frac{3}{2}}{27}[/tex3]
Portanto,
[tex3]L( C ) = 2.\lim_{a \rightarrow \ 0}\int\limits_{a}^{1}\sqrt{\frac{4}{9}.t^{-\frac{2}{3}}+ 1 } \ dt = 2.\lim_{a \rightarrow \ 0}\left[ \frac{13^\frac{3}{2}}{27} -\frac{( 4 + 9a^{\frac{2}{3}} ) ^\frac{3}{2}}{27}\right][/tex3]
[tex3]L( C ) = 2.\left(\frac{13^\frac{3}{2}}{27} -\frac{ 4^\frac{3}{2}}{27}\right)[/tex3]
L( C ) = ( 2/27 ).[ √( 13².13 ) - √64 ]
L( C ) = ( 2/27 ).[ 13√( 13 ) - 8 ] u.c.
Excelente estudo!
-
- Tópicos Semelhantes
- Resp.
- Exibições
- Últ. msg
-
- 2 Resp.
- 927 Exibições
-
Últ. msg por Cardoso1979
-
- 1 Resp.
- 5024 Exibições
-
Últ. msg por fabit
-
- 2 Resp.
- 2921 Exibições
-
Últ. msg por Toplel94
-
- 1 Resp.
- 4093 Exibições
-
Últ. msg por Rengaw
-
- 1 Resp.
- 4157 Exibições
-
Últ. msg por Radius
