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Mensagem não lidapor **mvgcsdf** » Ter 27 Mar, 2007 11:41

O Gabarito é E, mas achei C... Alguém poderia ajudar? Grato pela ajuda.

A equação [tex3]|2x+3|=ax+1[/tex3]

a) não possui solução para [tex3]a < 2[/tex3]
b) possui duas soluções para a maior que 2
c) possui solução única para [tex3]a < 2/3[/tex3]
d) possui solução única para [tex3]-2 < a < 2/3 [/tex3]
e) possui duas soluções para [tex3]-2 < a < 2/3[/tex3]

Mensagem não lidapor **caju** » Qua 28 Mar, 2007 22:23 · Mensagem não lida por **caju** » Qua 28 Mar, 2007 22:23

Olá mvgcsdf,

Essa questão fica mais fácil se visualizarmos o gráfico da função modular [tex3]f(x)=|2x+3|[/tex3]

: modular.jpg (12.25 KiB) Exibido 2542 vezes

Veja que, em preto, temos o gráfico da função modular.

Do lado direito da igualdade do enunciado, temos uma função [tex3]g(x)=ax+1[/tex3] que representa uma reta com coeficiente angular indefinido mas com coeficiente linear igual a 1, ou seja, independente do valor de [tex3]a[/tex3] , esta reta irá cortar o eixo y no ponto (0, 1).

Por isso representei as retas azul e vermelha na figura acima, pois elas mostram os limites de inclinação da reta que passa pelo ponto (0, 1) sem tocar na função modular.

Devemos calcular o valor de [tex3]a[/tex3] em cada situação.

Na reta azul, o coeficiente angular é igual à parte direita da função modular, ou seja, [tex3]a=2[/tex3] .

Na reta vermelha iremos calcular o valor de [tex3]a[/tex3] , pois sabemos dois pontos nos quais esta reta passa, são eles [tex3](0, 1)[/tex3] e [tex3]\(-\frac{3}{2},\, 0\)[/tex3] , assim podemos calcular o coeficiente angular:

[tex3]a=\frac{0-1}{-\frac{3}{2}-0}=\frac{2}{3}[/tex3]

Ou seja, com a variando de 2/3 até 2 não há intersecção entre a função modular e a reta. Cada intersecção seria uma solução.

Agora, se formos diminuindo o coeficiente angular da reta azul, teremos duas intersecções. Mas só haverá duas intersecções até a reta azul ficar paralela à reta do lado esquerdo da função modular, e isto irá ocorrer quando o coeficiente angular atingir -2, que é o coeficiente angular da reta esquerda da função modular.

Com este falatório, vemos que a alternativa E é a correta

Mensagem não lidapor **mvgcsdf** » Qui 29 Mar, 2007 14:08

Grande Professor Caju!! Muitíssimo obrigado pela atenção e pela solução da questão. Realmente por Geometria Analítica fica bem mais fácil.
Mas usando equação modular, não teria uma solução algébrica?
Grato pela atenção.

Excelente resposta, mas poderiam resolver pelo método algébrico? Obrigado.

Mensagem não lidapor **caju** » Dom 10 Jun, 2018 11:17 · Mensagem não lida por **caju** » Dom 10 Jun, 2018 11:17

Olá mvgcsdf e tungstenio,

A solução algébrica é bem maior. Mas, vamos lá:

Como toda resolução de equação modular, iremos dividir em casos:

1º caso: [tex3]\boxed{\boxed{2x+3\ge 0}}\,\,\to\,\,\,x\ge-\frac{3}{2}\hspace{20pt}\color{red}\text{(I)}[/tex3]

[tex3]|2x+3|=ax+1[/tex3]

Por causa da restrição desse 1º caso, podemos dizer que o módulo de [tex3]2x+3[/tex3] é o próprio [tex3]2x+3[/tex3] , ou seja, [tex3]|2x+3|=2x+3[/tex3] . Portanto:

[tex3]2x+3=ax+1\,\,\,\to\,\,\,\boxed{x=\frac{-2}{2-a}}\hspace{20pt}\color{red}\text{(II)}[/tex3]

Substituindo (II) em (I):

[tex3]\frac{-2}{2-a}\ge-\frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{-2}{2-a}+\frac{3}{2}\ge0\,\,\,\to\,\,\,\frac{2-3a}{4-2a}\ge 0[/tex3]

Resolvendo esta inequação, chegamos em [tex3]\boxed{a\le\frac{2}{3}}[/tex3] ou [tex3]\boxed{a>2}[/tex3] . Ou seja, para [tex3]x\ge-\frac{3}{2}[/tex3] , teremos 1 solução se [tex3]a\le\frac{2}{3}[/tex3] ou [tex3]a > 2[/tex3] .

2º caso: [tex3]\boxed{\boxed{2x+3<0}}\,\,\to\,\,\,x<-\frac{3}{2}\hspace{20pt}\color{red}\text{(III)}[/tex3]

[tex3]|2x+3|=ax+1[/tex3]

Por causa da restrição desse 2º caso, podemos dizer que o módulo de [tex3]2x+3[/tex3] é o oposto (sinal trocado) de [tex3]2x+3[/tex3] , ou seja, [tex3]|2x+3|=-2x-3[/tex3] . Portanto:

[tex3]-2x-3=ax+1\,\,\,\to\,\,\,\boxed{x=\frac{-4}{a+2}}\hspace{20pt}\color{red}\text{(IV)}[/tex3]

Substituindo (IV) em (III):

[tex3]\frac{-4}{a+2}<-\frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{-4}{a+2}+\frac{3}{2}<0\,\,\,\to\,\,\,\frac{3a-2}{2a+4}<0[/tex3]

Resolvendo esta inequação, chegamos em [tex3]\boxed{-2 < a < \frac{2}{3}}[/tex3] . Ou seja, para [tex3]x<-\frac{3}{2}[/tex3] , teremos mais 1 solução se [tex3]-2 < a < \frac{2}{3}[/tex3] .

CONCLUSÃO:

Fazendo a interseção entre os dois casos acima, conseguimos encontrar o intervalo de [tex3]a[/tex3] que gera 2 soluções:

: IMG_2023.JPG (15.03 KiB) Exibido 2541 vezes

Veja que o resultado é exatamente o descrito na alternativa E, como já havíamos demonstrado por geometria.

Grande abraço,
Prof. Caju

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