Ensino MédioAnálise Combinatória: PFC Tópico resolvido

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triplebig
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Análise Combinatória: PFC

Mensagem não lida por triplebig »



Com os algarismos 1, 2, 3, 4, ... , 9, quantos números de quatro algarismos existem, em que pelo menos dois algarismos são iguais?


Última edição: triplebig (Qui 22 Mai, 2008 14:47). Total de 1 vez.



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paulo testoni
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Re: Análise Combinatória: PFC

Mensagem não lida por paulo testoni »

Hola triplebig .

Total de números que podem ser formados:

[tex3]1\bullet\, algarismo:\, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 = 9\, algarismos[/tex3]
[tex3]2\bullet\, algarismos:\, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 = 9\, algarismos[/tex3]
[tex3]3\bullet\, algarismos:\, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 = 9\, algarismos[/tex3]
[tex3]4\bullet\, algarismos:\, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 = 9\, algarismos[/tex3]

[tex3]9*9*9*9 = 6561[/tex3]

O complementar de "Ter pelo menos 2 algarismos iguais" é "não ter algarismo igual", logo:

[tex3]A[/tex3] = formas de ter pelo menos 2 algarismos iguais;
[tex3]\bar A[/tex3] = complemento de A; formas de não ter nenhum algarismo igual;

Pode-se dizer que:

[tex3]A + \bar A = 9*9*9*9 = 6561\\
A + \bar A = 6561[/tex3]

Mas se tenho 9 termos e quero fazer um número de 4 algarismos, então é um arranjo de 9 termos tomados 4 a 4 ( afinal 1234 é diferente de 4321), se nao fosse, seria uma combinação, não um arranjo. Assim, calcula-se que:

[tex3]\bar A = A_9^4 = 3024[/tex3]

Substituindo na fórmula:

[tex3]A + \bar A = 6561[/tex3]
[tex3]A + 3024 = 6561[/tex3]
[tex3]A = 6561 - 3024[/tex3]
[tex3]A = 3537[/tex3]

Logo, a resposta é [tex3]3537[/tex3] formas.

Última edição: paulo testoni (Dom 15 Fev, 2009 12:25). Total de 1 vez.


Paulo Testoni

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