IME / ITA ⇒ (AFA) Números Complexos Tópico resolvido

[Gauss]

Considere todos os números complexos

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[tex3]z=x+yi[/tex3]

, onde

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[tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3]

,

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[tex3]y\in \mathbb{R}[/tex3]

e

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[tex3]i=\sqrt{-1}[/tex3]

, tais que

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[tex3]|z-\sqrt{-1}|\leq |\frac{\sqrt{2}}{1+i}|[/tex3]

.

A) nenhum deles é imaginário puro.
B) existe algum número real positivo.
C) apenas um é número real.
D) são todos imaginários.

Só gostaria de saber se há alguma propriedade que eu possa utilizar para eliminar os módulos.

Resposta

---

C

[LucasPinafi]

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[tex3]z-i = x+yi - i = x+(y-1)i \therefore |x-(y-1)i|= \sqrt{x^2+(y-1)^2} \\ \sqrt{x^2+(y-1)^2} \leq \left|\frac{\sqrt 2}{1-i}\right| = \left|\frac{\sqrt 2 (1+i)}{1-i^2} \right| = 1 \Rightarrow x^2+(y-1)^2 \leq 1[/tex3]

e o número será real quando y = 0, ou seja, quando

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[tex3]x^2 \leq 0 \therefore 0 \leq x \leq 0 \Longrightarrow x = 0[/tex3]

assim, há um único real que é o escalar 0.

[SdAurelio]

z=x+yi

|x+yi-i| [tex3]\leq [/tex3]

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[tex3]\leq [/tex3]

[t [tex3]\frac{|\sqrt{2}|}{|1+i|}[/tex3]

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[tex3]\frac{|\sqrt{2}|}{|1+i|}[/tex3]

|x+(y-1)i| [tex3]\leq [/tex3]

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[tex3]\leq [/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}[/tex3]

[tex3]\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}[/tex3]

[tex3]\leq [/tex3]

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[tex3]\leq [/tex3]

1

[tex3]\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}^{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}^{2}[/tex3]

[tex3]\leq [/tex3]

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[tex3]\leq [/tex3]

[tex3]1^{2}[/tex3]

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[tex3]1^{2}[/tex3]

[tex3]x^{2}+(y-1)^{2}[/tex3]

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[tex3]x^{2}+(y-1)^{2}[/tex3]

= 1
EQ. DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
DE CENTRO (0,1)
E RAIO [tex3]\sqrt{1}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{1}[/tex3]

= 1

U (CONJUNTO UNIÃO)

[tex3]x^{2}+(y-1)^{2}[/tex3]

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[tex3]x^{2}+(y-1)^{2}[/tex3]

< 1
INEQUAÇÃO DA REGIÃO INTERNA DA CIRCUNFERÊNCIA

POR CORTAR A RETA REAL SOMENTE NO PONTO (0,0) CLARAMENTE A ALTERNATIVA CORRETA É A D.

PORQUE NÃO AS OUTRAS ALTERNATIVAS?
>>>NENHUM DELES É IMAGINARIO PURO>>>NÃO. AO DESENHAR ESSA INEQUAÇÃO NO PLANO CARTESIANO NOTA-SE QUE PARTE QUE O UNICO PONTO A TOCAR A RETA REAL É O (0,0) E TODO O RESTO PASSA PELA RETA IMAGINARIA TORNANDO-OS IMAGINARIOS PUROS.
>>>EXISTE ALGUM NUMERO REAL POSITIVO>>> NÃO.NÃO CORTA O EIXO REAL PARA LADO DIREITO.
>>>SÃO TODOS NÚMEROS IMAGINÁRIOS>>> NÃO, ZERO É REAL.