Pré-Vestibular ⇒ (Unicamp) Produtos Notáveis/Fatoração Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2016
15
21:32
(Unicamp) Produtos Notáveis/Fatoração
Mostre que se [tex3]a + b + c = 0[/tex3]
Obrigada desde já!
, então [tex3]a^3 + b^3 + c^3 = 3abc[/tex3]
.Obrigada desde já!
Última edição: caju (Qua 27 Fev, 2019 11:32). Total de 1 vez.
Razão: colocar tex nas expressões matemáticas.
Razão: colocar tex nas expressões matemáticas.
Fev 2016
15
22:00
Re: (Unicamp) Produtos Notáveis/Fatoração
Temos que a,b e c são raízes do polinômio:
[tex3]x^3 - (a+b+c)\cdot x^2 + (ab+bc+ac)\cdot x - abc[/tex3]
[tex3]x^3 + (ab+bc+ac)\cdot x - abc[/tex3]
Então:
[tex3]\begin{cases}
a^3 + (ab+bc+ac)\cdot a - abc = 0 \\
b^3 + (ab+bc+ac)\cdot b - abc =0 \\
c^3 + (ab+bc+ac)\cdot c - abc =0
\end{cases}[/tex3]
Somando tudo:
[tex3]a^3+b^3+c^3 + (ab+bc+ac)\cdot (a+b+c) - 3abc=0[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3 =3abc[/tex3]
c.q.d.
[tex3]x^3 - (a+b+c)\cdot x^2 + (ab+bc+ac)\cdot x - abc[/tex3]
[tex3]x^3 + (ab+bc+ac)\cdot x - abc[/tex3]
Então:
[tex3]\begin{cases}
a^3 + (ab+bc+ac)\cdot a - abc = 0 \\
b^3 + (ab+bc+ac)\cdot b - abc =0 \\
c^3 + (ab+bc+ac)\cdot c - abc =0
\end{cases}[/tex3]
Somando tudo:
[tex3]a^3+b^3+c^3 + (ab+bc+ac)\cdot (a+b+c) - 3abc=0[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3 =3abc[/tex3]
c.q.d.
Última edição: caju (Qua 13 Dez, 2017 15:12). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> Tex3
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Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Fev 2016
15
23:42
Re: (Unicamp) Produtos Notáveis/Fatoração
outra solução que, em essência, é a mesma proposta pelo amigo Italo.
Vamos supor que a ideia de um polinômio não lhe venha na cabeça na hora. Então, podemos apelar para procedimentos mais 'elementares', principalmente na hora de um vestibular.
[tex3]a+b+c = 0 \therefore (a+b+c)^2 = 0 \therefore a^2 + b^2 +c^2 +2(ab+ac+bc) = 0[/tex3]
Multiplicamos essa equação por 'a', 'b' e 'c', para obter as seguintes equações equivalentes:
[tex3]\begin{cases}a^3 + ab^2 + ac^2 + 2a(ab+ac+bc) = 0 \\ a^2b + b^3 + bc^2 + 2b(ab+ac+bc) = 0 \\ a^2 c +b^2 c + c^3 + 2c (ab+ac+bc) = 0 \end{cases}[/tex3]
somando-se essas 3 equações:
[tex3]a^3 + b^3 +c~3 + ab^2 +ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c+2(ab+ac+bc)(a+b+c)=0[/tex3]
mas [tex3]a+b+c=0[/tex3] . Fatorando a expressão:
[tex3]a^3+b^3+c^3 + ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c) = 0[/tex3]
e, ainda, utilizando [tex3]a+b+c=0[/tex3] , tiramos as várias relações:
[tex3]\begin{cases}a+b = - c \\ a+c = - b \\ b+c = -a \end{cases}[/tex3]
de forma que a expressão fica:
[tex3]a^3+b^3+c^3 + ab(-c) + ac(-b) + bc(-a) = 0 \therefore a^3+b^3 + c^3 = 3abc[/tex3]
Vamos supor que a ideia de um polinômio não lhe venha na cabeça na hora. Então, podemos apelar para procedimentos mais 'elementares', principalmente na hora de um vestibular.
[tex3]a+b+c = 0 \therefore (a+b+c)^2 = 0 \therefore a^2 + b^2 +c^2 +2(ab+ac+bc) = 0[/tex3]
Multiplicamos essa equação por 'a', 'b' e 'c', para obter as seguintes equações equivalentes:
[tex3]\begin{cases}a^3 + ab^2 + ac^2 + 2a(ab+ac+bc) = 0 \\ a^2b + b^3 + bc^2 + 2b(ab+ac+bc) = 0 \\ a^2 c +b^2 c + c^3 + 2c (ab+ac+bc) = 0 \end{cases}[/tex3]
somando-se essas 3 equações:
[tex3]a^3 + b^3 +c~3 + ab^2 +ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c+2(ab+ac+bc)(a+b+c)=0[/tex3]
mas [tex3]a+b+c=0[/tex3] . Fatorando a expressão:
[tex3]a^3+b^3+c^3 + ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c) = 0[/tex3]
e, ainda, utilizando [tex3]a+b+c=0[/tex3] , tiramos as várias relações:
[tex3]\begin{cases}a+b = - c \\ a+c = - b \\ b+c = -a \end{cases}[/tex3]
de forma que a expressão fica:
[tex3]a^3+b^3+c^3 + ab(-c) + ac(-b) + bc(-a) = 0 \therefore a^3+b^3 + c^3 = 3abc[/tex3]
Última edição: caju (Qua 13 Dez, 2017 15:13). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
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Fev 2016
15
23:47
Re: (Unicamp) Produtos Notáveis/Fatoração
Uma prova mais simples é a seguinte:
[tex3]a + b + c[/tex3] =0 [tex3]\rightarrowa + b = -c[/tex3]
Elevando cada membro ao cubo:
[tex3](a+b)^{3} = (-c)^{3}\rightarrowa^{3}[/tex3] +3ab(a+b)+[tex3]b^{3} = -c^{3}[/tex3]
Como a+b=-c,substituindo na ultima equação,obtemos:
[tex3]a^{3}[/tex3] +3ab(-c)+[tex3]b^{3} = -c^{3}\rightarrowa^{3} + b^{3} + c^{3}[/tex3] =3abc.
[tex3]a + b + c[/tex3] =0 [tex3]\rightarrowa + b = -c[/tex3]
Elevando cada membro ao cubo:
[tex3](a+b)^{3} = (-c)^{3}\rightarrowa^{3}[/tex3] +3ab(a+b)+[tex3]b^{3} = -c^{3}[/tex3]
Como a+b=-c,substituindo na ultima equação,obtemos:
[tex3]a^{3}[/tex3] +3ab(-c)+[tex3]b^{3} = -c^{3}\rightarrowa^{3} + b^{3} + c^{3}[/tex3] =3abc.
Última edição: caju (Qua 13 Dez, 2017 15:13). Total de 2 vezes.
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Fev 2016
16
16:39
Re: (Unicamp) Produtos Notáveis/Fatoração
Oi meninos, grata pela atenção.
jomatlove, eu não entendi muito bem o que você fez, tentei assim:
a + b + c = 0
a + b = -c
Elevando cada membro ao cubo:
[tex3](a + b)^{3} = -c^{3}[/tex3]
A partir daqui "aparentemente" fica diferente do seu, não sei se foi porque fiz algo errado ou não consegui visualizar seu raciocínio rs
Desenvolvendo os produtos notáveis:
a³ + 3ab + 3ab + b³ = -c³
Ou seja, não entendi seu raciocínio neste trecho:
[tex3](a+b)^{3} = (-c)^{3}\rightarrow[/tex3] [tex3]a^{3}[/tex3] +3ab(a+b)+[tex3]b^{3}[/tex3] = -c³
jomatlove, eu não entendi muito bem o que você fez, tentei assim:
a + b + c = 0
a + b = -c
Elevando cada membro ao cubo:
[tex3](a + b)^{3} = -c^{3}[/tex3]
A partir daqui "aparentemente" fica diferente do seu, não sei se foi porque fiz algo errado ou não consegui visualizar seu raciocínio rs
Desenvolvendo os produtos notáveis:
a³ + 3ab + 3ab + b³ = -c³
Ou seja, não entendi seu raciocínio neste trecho:
[tex3](a+b)^{3} = (-c)^{3}\rightarrow[/tex3] [tex3]a^{3}[/tex3] +3ab(a+b)+[tex3]b^{3}[/tex3] = -c³
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Fev 2016
16
17:45
Re: (Unicamp) Produtos Notáveis/Fatoração
(a+b)³ = a³ + 3a²b+3ab²+b³ = a³ +3ab(a+b) + b³
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Fev 2016
17
09:59
Re: (Unicamp) Produtos Notáveis/Fatoração
Olá!
Basta colocar em evidência o fator comum 3ab da expressão [tex3]3a^{2}b+3ab^{2}=3ab(a+b)[/tex3] .
Basta colocar em evidência o fator comum 3ab da expressão [tex3]3a^{2}b+3ab^{2}=3ab(a+b)[/tex3] .
Última edição: caju (Qua 13 Dez, 2017 15:14). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> Tex3
Razão: TeX --> Tex3
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knowledge(Albert Einstein)
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Fev 2016
17
10:02
Re: (Unicamp) Produtos Notáveis/Fatoração
Sim, na hora eu não visualizei rs
Agora eu consegui resolver
Obrigada pela atenção!
Agora eu consegui resolver
Obrigada pela atenção!
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