Ensino Superior ⇒ Continuidade de Função Tópico resolvido

[lucasf10]

O valor da constante [tex3]k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k[/tex3]

para o qual a função [tex3]f(x)= \begin{cases}
x^{2}+kx, se x < 3 \\
kx^{3}-x, se x \geq 3
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)= \begin{cases}
x^{2}+kx, se x < 3 \\
kx^{3}-x, se x \geq 3
\end{cases}[/tex3]

é contínua para todo [tex3]x\in R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\in R[/tex3]

é:
a) 1/4
b) 1/2
c) 0
d) -1/2
e) -1/4

Grato a quem puder me ajudar.

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Calculando os limites laterais, temos que

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 3^-}(x^2+kx)=[(3^-)^2+k(3^-)]=9+3k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 3^-}(x^2+kx)=[(3^-)^2+k(3^-)]=9+3k[/tex3]

Por outro lado,

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 3^+}(kx^3+kx)=[k(3^+)^3-(3^+)]=27k-3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 3^+}(kx^3+kx)=[k(3^+)^3-(3^+)]=27k-3[/tex3]

Para que o limite exista, os limites laterais tem que ser iguais , ou seja ,

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 3^+}f(x) = \lim_{x \rightarrow \ 3^-}f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 3^+}f(x) = \lim_{x \rightarrow \ 3^-}f(x)[/tex3]

27k - 3 = 9 + 3k

24k = 12

k = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Portanto, o valor de k é 1/2 para que a função f( x ) seja contínua em todo [tex3]x\in R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\in R[/tex3]

, alternativa b).


Nota

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 3}f(x)=f(3)=\frac{21}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 3}f(x)=f(3)=\frac{21}{2}[/tex3]

Bons estudos!