Ensino Superior

Mensagem não lidapor **subjectname** » 28 Nov 2015, 14:50 · 28 Nov 2015, 14:50

Calcule a primitiva da função seguinte:

$\int \frac{x\cdot \ln x}{(x^2 +1)^2}\,dx$

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 28 Nov 2015, 16:06 · 28 Nov 2015, 16:06

Olá, Subjectname.

Note que

$\frac{x\cdot \ln x}{(x^2 +1)^2}\,\,=\,\,-\frac{1}{2}\cdot \frac{-2x}{(x^2 +1)^2}\cdot \ln x\,\,=\,\,-\frac{1}{2}\cdot \left[\frac{1}{(x^2 +1)}\right]'\cdot \ln x$

Então se

$f(x)=-\frac{1}{2(x^2 +1)}$

$g(x)=\ln x$

$h(x)=f(x)\cdot g(x)$

Se quisermos derivar $h$ , teremos

$h'=f'\cdot g+f\cdot g'$

Agora, se integrarmos:

$\int h'\,dx=\int f'\cdot g\,dx+\int f\cdot g'\, dx$

Ou seja,

$\int h'\,dx=\int f'\cdot g\,dx+\int f\cdot g'\, dx$

Assim,

$\int \frac{x\cdot \ln x}{(x^2 +1)^2}\,dx\,\,=\,\,-\frac{\ln x}{2(x^2 +1)}-\int \left(-\frac{1}{2\,x\,(x^2 +1)}\right) dx$

$\int \frac{x\cdot \ln x}{(x^2 +1)^2}\,dx\,\,=\,\,-\frac{\ln x}{2(x^2 +1)}+\frac{1}{2}\,\int \frac{1}{x\,(x^2 +1)}\,dx$

Porém,

$\frac{1}{x\,(x^2 +1)}\,\,=\,\,\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}\,\,=\,\,\frac{1}{x}-\frac{(x^2+1)'}{2(x^2+1)}$

Substituindo,

$\int \frac{x\cdot \ln x}{(x^2 +1)^2}\,dx\,\,=\,\,-\frac{\ln x}{2(x^2 +1)}\,\,+\,\,\frac{1}{2}\,\int \frac{1}{x}\,dx\,\,-\,\,\frac{1}{4}\,\int \frac{(x^2+1)'}{x^2+1}\,dx$

$\int \frac{x\cdot \ln x}{(x^2 +1)^2}\,dx\,\,=\,\,-\frac{\ln x}{2(x^2 +1)}\,\,+\,\,\frac{\ln x}{2}\,\,-\,\,\frac{\ln(x^2+1)}{4}+C$

$\int \frac{x\cdot \ln x}{(x^2 +1)^2}\,dx\,\,=\,\,\frac{x^2\,\ln x}{2(x^2 +1)}\,\,-\,\,\frac{\ln(x^2+1)}{4}+C$

Espero ter ajudado, abraço.

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