Ensino Superior

lucasazenha · 24 Nov 2015, 13:56

Minha duvida está nesta questão.

Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta $y = 2$ , da região $R$ delimitada pelos gráficos das equações: $y = \sin x$ , $y=\sin^3 x$ de $x = 0$ até $x = \pi/2$ ?

(a) 3,26 u.v.
(b) 4,67 u.v.
(c) 5,32 u.v.
(d) 6,51 u.v.
(e) 6,98 u.v.

Obrigado!!

Mensagem não lidapor **Cardoso1979** » 29 Jan 2018, 01:42 · 29 Jan 2018, 01:42

Observe:

Os limites de integração o autor da questão já fornece, x = a = 0 e x = b = [tex3]\frac{π}{2}[/tex3] , usando o método do disco circular, temos:

V = [tex3]π \int\limits_{a}^{b}[ ( f(x) - k )^2 -
( g(x) - k )^2 ]dx [/tex3]

Onde, a = 0 , b = [tex3]\frac{π}{2}[/tex3] , [tex3]f(x) = sen³ x[/tex3] , [tex3]g(x) = sen x[/tex3] e k = 2( pois devemos rotacionar em torno de y = 2 ).

V = [tex3]π \int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[ ( sen³ (x) - 2 )^2 - ( sen (x) - 2 )^2 ]dx [/tex3]

Desenvolvendo, resulta em ;

V = 3,2635

Portanto, o volume procurado é 3,26 u.v , alternativa a).

Uma outra maneira de chegarmos ao mesmo resultado , é usando o método dos invólucros cilíndricos. Primeiramente vamos , encontrar os limites de integração, tomando a função y = sen x ,temos:

Para x = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] y = 0

Para x = [tex3]\frac{π}{2}\rightarrow [/tex3] y = 1

Agora, iremos encontrar as funções inversas de y = sen x e y = sen³ x, vem;

y = sen x [tex3]\rightarrow [/tex3] x = arc sen (y)

e

y = sen³ x [tex3]\rightarrow [/tex3] sen x = [tex3]\sqrt[3]{y}\rightarrow [/tex3]
x = arc sen ([tex3]\sqrt[3]{y}[/tex3] )

Daí;

V = 2π[tex3]\int\limits_{c}^{d}( y - k )[ g_{1}(y) - g_{2}(y) ]dy [/tex3]

Onde c = 0 , d = 1 , k = 2 , [tex3]g_{1}(y) = arc sen (y)[/tex3] e [tex3]g_{2}(y) = arc sen (\sqrt[3]{y})[/tex3] .

V = 2π[tex3]\int\limits_{0}^{1}( y - 2 )[ arc sen(y) - arc sen (\sqrt[3]{y}) ]dy [/tex3]

Calculando a integral acima, você encontrará o seguinte resultado: 3,26351

Logo, o volume vale V = 3,26 u.v, alternativa a)

Esboço

: 1517197046358179248693.jpg (61 KiB) Exibido 586 vezes

Bons estudos!!

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