Ensino Superior ⇒ Aplicação de derivadas - Calculo 2

[FraanMarques]

Calcule C > 0 de tal forma que a área limitada por y= x^2 - C e y= C - x^2 seja igual a 9.

[danjr5]

Olá Fraan, boa tarde!

Não consegui anexar a imagem.

Para encontrar a área, calculamos

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[tex3]\int\int_{B} 1 \; dx \; dy[/tex3]

onde B corresponde ao intervalo de integração. Considerando a área limitada como sendo do tipo I, temos que o intervalo é dado por

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[tex3]x^2 - c \leq y \leq x - x^2[/tex3]

e

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[tex3]- \sqrt{c} \leq x \leq \sqrt{c}[/tex3]

.

Isto posto,

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[tex3]\\ \int_{- \sqrt{c}}^{\sqrt{c}} \int_{x^2 - c}^{c - x^2} dy \, dx = 9 \\\\\\ \int_{- \sqrt{c}}^{\sqrt{c}} \left[\frac{y}{1}\right]_{x^2 - c}^{c - x^2} dx = 9 \\\\\\ \int_{- \sqrt{c}}^{\sqrt{c}} (c - x^2 - x^2 + c) dx = 9 \\\\\\ 2 \cdot \int_{- \sqrt{c}}^{\sqrt{c}} (c - x^2) dx = 9 \\\\\\ 2 \cdot \left[cx - \frac{x^3}{3}\right]_{- \sqrt{c}}^{\sqrt{c}} = 9[/tex3]

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[tex3]\\ \begin{cases}F(\sqrt{c}) = c\sqrt{c} - \frac{\sqrt{c^3}}{3} \\ F(- \sqrt{c}) = - c\sqrt{c} + \frac{\sqrt{c^3}}{3}\end{cases} \\\\\\ 2 \cdot [F(\sqrt{c}) - F(- \sqrt{c})] = 9 \\\\ 2 \cdot (2c\sqrt{c} - \frac{2c\sqrt{c}}{3}) = 9 \\\\\\ 4c\sqrt{c} \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 9 \\\\\\ 4c\sqrt{c} \cdot \frac{2}{3} = 9[/tex3]

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[tex3]\\ 8c\sqrt{c} = 27 \\\\ \sqrt{c^3} = \frac{3^3}{2^3} \\\\\\ c^3 = \left(\frac{3^3}{2^3}\right)^2 \\\\\\ c = \frac{3^2}{2^2} \\\\ \boxed{\boxed{c = \frac{9}{4}}}[/tex3]