Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **marguiene** » 17 Nov 2015, 09:35 · Mensagem não lida por **marguiene** » 17 Nov 2015, 09:35

Se [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] são números reais tais que [tex3]a^2 + 2b = 7[/tex3] , [tex3]b^2 + 4c = -7[/tex3] e [tex3]c^2 + 6a = -14[/tex3] . Determine o valor de [tex3]a^2 + b^2 + c^2[/tex3] .

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 17 Nov 2015, 12:58 · 17 Nov 2015, 12:58

Olá, Marguiene.

Temos o sistema:

[tex3]\begin{cases}
a^2+2b=7 \\
b^2+4c=-7 \\
c^2+6a=-14
\end{cases}[/tex3]

Somando a 1º e a 2º:

[tex3]a^2+2b+b^2+4c=0[/tex3]

Note que quase temos um quadrado perfeito em [tex3]b[/tex3] . Então vamos completá-lo.

[tex3]a^2+b^2+2b+1+4c=1[/tex3]

[tex3]a^2+(b+1)^2+4c=1[/tex3]

Pegamos a 2º e a 3º e fazemos o mesmo, obtemos
[tex3][/tex3]
[tex3]b^2+(c+2)^2+6a=-17[/tex3]

Analogamente, tomemos a 1º e 3º,

[tex3]c^2+(a+3)^2+2b=2[/tex3]

Neste momento, peguemos as três equações que geramos e somemos, chegaremos a

[tex3]a^2+b^2+c^2+(a+3)^2+(b+1)^2+(c+2)^2+6a+2b+4c=-14[/tex3]

Em seguida, tomemos as três equações originais e somemos também, obteremos

[tex3]a^2+b^2+c^2+6a+2b+4c=-14[/tex3]

Se fizermos a diferença dessas duas últimas, teremos

[tex3](a+3)^2+(b+1)^2+(c+2)^2=0[/tex3]

Porém, a soma de três números positivos é somente nulo se, e somente se os três forem ambos nulos. Para satisfazer a equação,

[tex3]a=-3[/tex3]

[tex3]b=-1[/tex3]

[tex3]c=-2[/tex3]

Portanto,

[tex3]a^2+b^2+c^2=14[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

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