IME / ITA ⇒ (Escola Naval) Álgebra Tópico resolvido

[ALDRIN]

O comprimento de arco da curva [tex3](\text{x}-2)^{\frac{2}{3}}+(\text{y}-1)^{\frac{2}{3}}=4^{\frac{2}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\text{x}-2)^{\frac{2}{3}}+(\text{y}-1)^{\frac{2}{3}}=4^{\frac{2}{3}}[/tex3]

, em unidades de comprimento é igual a

(A) [tex3]12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12[/tex3]

.
(B) [tex3]24[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]24[/tex3]

.
(C) [tex3]36[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]36[/tex3]

.
(D) [tex3]48[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]48[/tex3]

.
(E) [tex3]96[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]96[/tex3]

.

Resposta

---

B

[JonatasSF]

Errei na resolução

[Ittalo25]

Geralmente em questões desse tipo é fornecido um intervalo [a,b], daí para calcular o comprimento basta usar:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1 + f'(x)}dx[/tex3]

Mas como não foi dado o intervalo, acredito que seja uma "figura fechada".

Mas já tentei plotar o gráfico e não consegui

[LucasPinafi]

Realmente, a curva é fechada.
Nada então como trocar de variáveis. Tomemos

Código: Selecionar tudo

[tex3]\begin{cases} x-2 = R\cos^3 \theta \\ y-1 = R \sin^3 \theta \end{cases}[/tex3]

É fácil visualizar mentalmente, que se a curva é fechada então

Código: Selecionar tudo

[tex3]\theta[/tex3]

deve variar entre

Código: Selecionar tudo

[tex3]0\leq \theta \leq 2\pi[/tex3]

. Segue então que:

Código: Selecionar tudo

[tex3]C= \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+ \left( \frac{dy}{d\theta}\right)^2} \ d\theta= \int_0^{2\pi}\sqrt{(-3R \sin \theta \cos^2 \theta )^2 + (3R \cos \theta \sin^2 \theta )^2} \ d\theta \\ \\ C=3R \int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2 \theta \cos^4 \theta + \cos^2 \theta \sin^4 \theta} \ d\theta = 3R \int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2 \theta \cos^2 \theta( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta )} \ d\theta \\ \\ C= 3R \int_0^{2\pi} |\sin \theta \cos \theta | \ d \theta \\ \\ \therefore C= 3R\left[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cos \theta \ d\theta -\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \sin \theta \cos \theta \ d\theta + \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \sin \theta \cos \theta \ d\theta \right] \\ C = 3R(2) = 6R=24[/tex3]

Veja que R = 4