Pré-Vestibular(FUVEST) Geometria Analítica - Circunferência Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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Gauss
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(FUVEST) Geometria Analítica - Circunferência

Mensagem não lida por Gauss »

Uma circunferência passa pelos pontos (2,0), (2, 4) e (0, 4). Logo, a distância do centro dessa circunferência à origem é:

Fiz o esboço do gráfico desta circunferência. Segue a imagem abaixo.
Screenshot_1.png
Screenshot_1.png (8.15 KiB) Exibido 18118 vezes
Há alguma maneira de fazer este tipo questão (sem ser pelo método tradicional de substituir os pontos na equação genérica) rapidamente?
Resposta

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Última edição: Gauss (Ter 06 Out, 2015 23:07). Total de 1 vez.



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Ittalo25
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Re: (FUVEST) Geometria Analítica - Circunferência

Mensagem não lida por Ittalo25 »

ABC é um triângulo retângulo pela simetria entre as coordenadas.

Logo o centro circunscrito é metade da sua hipotenusa:

\frac{A+C}{2} = \frac{(2,0)+(0,4)}{2} = \frac{(2,4)}{2} = (1,2)

Então a distância do centro até a origem é:

\sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{5}

Última edição: Ittalo25 (Qua 07 Out, 2015 01:21). Total de 1 vez.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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Gauss
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Re: (FUVEST) Geometria Analítica - Circunferência

Mensagem não lida por Gauss »

Entendi, Ittalo25. Muito obrigado.



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Gauss
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Re: (FUVEST) Geometria Analítica - Circunferência

Mensagem não lida por Gauss »

Ittalo, resolvendo esta questão novamente fiquei com uma dúvida bastante simples. Fiquei meio confuso com relação à simetria entre as coordenadas. Como você percebe essa simetria?



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undefinied3
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Re: (FUVEST) Geometria Analítica - Circunferência

Mensagem não lida por undefinied3 »

Veja que o ponto B está na mesma reta horizontal que C e na mesma reta vertical que A, logo essas retas são perpendiculares e forma-se um triângulo retângulo. Você pode perceber essa simetria pelo fato dos pontos serem:

(a,b);(a,c);(d,c)


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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Gauss
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Re: (FUVEST) Geometria Analítica - Circunferência

Mensagem não lida por Gauss »

Ah, entendi perfeitamente. Valeu, undefinied3.



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parozkx
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Re: (FUVEST) Geometria Analítica - Circunferência

Mensagem não lida por parozkx »

Olá a todos,

Existe uma forma mais imediata, que utiliza apenas geometria analítica e equações.

Equação geral da circunferência:
[tex3](X-Xc)^2 +(Y-Yc)^2 = r^2[/tex3]

Para [tex3](2,0)[/tex3] :
[tex3](2-Xc)^2 +(0-Yc)^2 = r^2 \rightarrow (4-4Xc+Xc^2)+(Yc^2)=r^2[/tex3]

Para [tex3](2,4)[/tex3] :
[tex3](2-Xc)^2 +(4-Yc)^2 = r^2 \rightarrow (4-4Xc+Xc^2)+(16-8Yc+Yc^2)=r^2[/tex3]

Para [tex3](0,4)[/tex3] :
[tex3](0-Xc)^2 +(4-Yc)^2 = r^2 \rightarrow ( Xc^2+16-8Yc)+(Yc^2)=r^2[/tex3]

Observe que:
Pela primeira equação, temos [tex3]4-4Xc+Xc^2=r^2-Yc^2 [/tex3]
Pela terceira equação, temos [tex3]16-8Yc + Yc^2=r^2-Xc^2[/tex3]

Ao substituir [tex3]4-4Xc+Xc^2=r^2-Yc^2 [/tex3] na segunda equação, ficamos com:

[tex3]r^2-Yc^2 +16-8Yc+Yc^2=r^2 [/tex3]
[tex3]\rightarrow 16-8Yc=0[/tex3]
[tex3]\rightarrow Yc = 2[/tex3]

Ao substituir [tex3]16-8Yc + Yc^2=r^2-Xc^2[/tex3] na segunda equação ficamos com:
[tex3]4-4Xc+Xc^2 + r^2 - Xc^2 =r^2[/tex3]
[tex3]\rightarrow 4-4Xc=0[/tex3]
[tex3]\rightarrow Xc=1[/tex3]

Centro da circunferência: [tex3](1,2)[/tex3]

Distância entre [tex3](0,0) [/tex3] e [tex3](1,2)[/tex3]

[tex3]d= \sqrt{(X-Xo)^2+(Y-Yo)^2}[/tex3]
[tex3]d= \sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}[/tex3]
[tex3]d= \sqrt{1+4}[/tex3]
[tex3]d= \sqrt{5}[/tex3]



18 anos, vestibulando. Gosto muito das matérias de Bio-exatas.

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