Ensino Superior ⇒ Calculo de pontos críticos.

[CarolAlves]

Boa noite. Não consegui resolver a letra c da questão. Quem puder me dar uma ajuda, ficaria grata.

Para construir um cone circular reto remove-se um setor de uma folha circular de cartolina
de raio 10 cm e unem-se as duas margens retilíneas do corte, conforme a figura ao lado,
em que a indica o angulo do setor circular restante em radianos. O objetivo desse exercício
e determinar os ângulos a que fornecem os cones de maior volume. Uma vez montado o
cone, denote sua altura por h e seu raio da base por r, de modo que seu volume e dado
por (1/3)r²h.

(a) Lembrando que o perímetro do setor circular ao lado e igual a
10a, obtenha a expressão de r em função do angulo a.
(b) Determine o volume do cone obtido em função do angulo a.
(c) Determine o angulo a0 para o qual o volume do cone obtido seja o maior possível.

Captura de Tela 2015-10-06 às 22.04.02.png (16.34 KiB) Exibido 1319 vezes

[fabit]

Tem um fator [tex3]\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi[/tex3]

na figura que não está replicado no texto, nem no raio que está como 10 cm nem no volume que está como [tex3]\frac{1}{3}r^2h[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{3}r^2h[/tex3]

. Vou supor que a figura está certa, tendo um pi no raio da planificação.

[tex3]10a\pi=2\pi\times r\Rightarrow r=5a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10a\pi=2\pi\times r\Rightarrow r=5a[/tex3]

(isso é o item a, eu sei, mas preciso pegar o embalo pra chegar no item c...)

O volume fica [tex3]\frac{1}{3}\pi\(5a\)^2\times h_a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{3}\pi\(5a\)^2\times h_a[/tex3]

onde [tex3]h_a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h_a[/tex3]

denota que tenho ainda que expressar essa altura em função de [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

. Isso é feito com Pitágoras: [tex3]\(10\pi\)^2=\(5a\)^2+h_a^2\Rightarrow h_a=\sqrt{100\pi^2-25a^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(10\pi\)^2=\(5a\)^2+h_a^2\Rightarrow h_a=\sqrt{100\pi^2-25a^2}[/tex3]

Logo [tex3]V_a=\frac{\pi\times25a^2\times\sqrt{100\pi^2-25a^2}}{3}=\frac{125\pi a^2\times\sqrt{4\pi^2-a^2}}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_a=\frac{\pi\times25a^2\times\sqrt{100\pi^2-25a^2}}{3}=\frac{125\pi a^2\times\sqrt{4\pi^2-a^2}}{3}[/tex3]

(foi-se o item b...)

Agora, está claro que [tex3]0<a<2\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0<a<2\pi[/tex3]

sendo que o volume tende para zero quando [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

tende para esses extremos. Resta saber qual o valor de [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

que maximiza o volume.

Derivemos: [tex3]\frac{\mathrm{d}V_a}{\mathrm{d}a}=\frac{125\pi}{3}\times\frac{\mathrm{d}\sqrt{4a^4\pi^2-a^6}}{\mathrm{d}a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\mathrm{d}V_a}{\mathrm{d}a}=\frac{125\pi}{3}\times\frac{\mathrm{d}\sqrt{4a^4\pi^2-a^6}}{\mathrm{d}a}[/tex3]

Então [tex3]V'_a=\frac{125\pi}{3}\times\frac{1}{2\sqrt{4a^4\pi^2-a^6}}(16a^3\pi^2-6a^5)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V'_a=\frac{125\pi}{3}\times\frac{1}{2\sqrt{4a^4\pi^2-a^6}}(16a^3\pi^2-6a^5)[/tex3]

Para encontrar pontos críticos, basta nesse caso igualar [tex3]16a^3\pi^2-6a^5=0\Rightarrow3a^2=8\pi^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]16a^3\pi^2-6a^5=0\Rightarrow3a^2=8\pi^2[/tex3]

Resposta [tex3]\boxed{a=\pi\sqrt{\frac{8}{3}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{a=\pi\sqrt{\frac{8}{3}}}[/tex3]

[CarolAlves]

Ola, muito obrigada pela resposta.

Só nao entendi o [tex3]a^{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{6}[/tex3]

[undefinied3]

Ele pegou o [tex3]125\pi a^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]125\pi a^2[/tex3]

, mais especificamente o [tex3]a^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2[/tex3]

, e elevou ao quadrado para colocar dentro da raiz.

[fabit]

Exatamente. Não que seja uma passagem necessária, mas deixar [tex3]a^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2[/tex3]

do lado de fora obrigaria utilizar derivada de produto, então valia a pena passa-lo pra dentro da raiz assim [tex3]sqrt{a^4(4\pi^2-a^2)}=...[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sqrt{a^4(4\pi^2-a^2)}=...[/tex3]

.