Concursos Públicos

Mensagem não lidapor **ALDRIN** » Ter 06 Out, 2015 12:12 · Mensagem não lida por **ALDRIN** » Ter 06 Out, 2015 12:12

Dois colegas decidiram comprar um par de rádioscomunicadores para poderem se comunicar quando um deles estivesse em casa e outro na escola. Para isso, precisaram saber qual o raio de alcance dos rádios a serem comprados. Sabendo que as distâncias de suas casas à escola são iguais, observaram que, colocando a casa de um deles na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais [tex3]\text{x}O\text{y}[/tex3] , a escola estaria no ponto de coordenadas [tex3](40,\ 30)[/tex3] . Observaram também que era possível determinar uma circunferência cujo centro estivesse localizado na escola e que passava por cada uma das casas.

Com relação a essa situação, julgue os próximos itens.

(1) A equação da circunferência mencionada é [tex3](\text{x} - 40)^2 + (\text{y} - 30)^2 = 50^2[/tex3] .
(2) O coeficiente angular da reta tangente à circunferência mencionada, no ponto de coordenadas [tex3](0,\ 0)[/tex3] é igual a [tex3]- \frac{4}{3}[/tex3] .

Resposta

C, C.

1) De fato, a circunferencia está centrada na escola que, tomando um plano cartesiano com a casa de um dos amigos como origem, está posicionada no ponto (40,30). Para descobrir o raio, note que podemos fechar um triângulo retângulo de catetos 30 e 40, e o raio sendo a hipotenusa. É de imediato que a resposta é 50, então a equação da circunferência fica
[tex3](x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2=r^2[/tex3]
[tex3](x-40)^2+(y-30)^2=50^2[/tex3]

2) Iremos recorrer ao cálculo para resolver este item. Temos que, em um dado ponto (x,y) pertencente a uma circunferência, o coeficiente angular da reta que tange esta circunferência neste ponto é sempre [tex3]-\frac{x}{y}[/tex3] . Segue a demonstração:

x²+y²=r²
[tex3]y=sqrt{r^2-x^2}[/tex3]
Utilizando a regra da cadeia, sejam as funções:
[tex3]f(x)=sqrt{x} \rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex3]
[tex3]g(x) = r^2-x^2\rightarrow g'(x)=-2x[/tex3]
[tex3]y=f(g(x))[/tex3]
[tex3]\frac{dy}{dx} = f'(g(x))*g'(x)[/tex3]
Note que r é uma constante, então:
[tex3]\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{r^2-x^2}}.(-2x) = -\frac{x}{sqrt{r^2-x^2}}[/tex3]
Relembrando que [tex3]y=sqrt{r^2-x^2}[/tex3] , ficamos com:
[tex3]\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}[/tex3] C.Q.D.[/quote]

Assim, temos que a reta que tange o ponto (0,0) é:
[tex3]-\frac{0-40}{0-30} = -\frac{-40}{-30} = -\frac{4}{3}[/tex3]

Como é uma questão de vestibular, acho que deve se tomar outro caminho para resolver a $b$ .

Seja $ax+by=c$ a reta procurada; como esta passa por $(0,\ 0)$ , resulta que $c=0$ . A distância da reta ao centro da circunferência deve ser igual ao raio, de modo que:

$50 = \frac{|40a+30b|}{\sqrt{a^2+b^2}} \Rightarrow 5\sqrt{a^2+b^2} = |4a+3b| \\ 25(a^2+b^2) = 16a^2+24ab+9b^2 \Rightarrow 9a^2-24ab+16b^2 =0$

O coeficiente angular da reta é´ $m=- \frac{a}{b}$ . Assim:

$9a^2-24ab+16b^2 = 0 \Rightarrow 9 \left( \frac{a}{b} \right)^2 - 24 \left( \frac{a}{b} \right) +16 = 0$

Fazendo $\frac{a}{b} = u$ , temos que:

$9u^2-24u+16 = 0 \Rightarrow u = \frac{4}{3}$
Logo, $m= - u = - \frac{4}{3}$

Hola.

Brilhante a solução dada por vocês, isso denota ótimo conhecimento do assunto. Creio que o uso da Regra da Cadeia é assunto pertinente do Ensino Superior. Vale lembrar que algumas escolas de ensino médio abordam derivadas. O interessante nesse caso é o aluno saber um pouco da teoria sobre esse assunto, ou seja:

Devemos relembrar alguns fatos importantes acerca da geometria analítica:

- Ponto pertencente à circunferência: por esse ponto podemos ter apenas uma reta tangente, pois ele é o ponto de tangência.
- A reta tangente sempre será perpendicular ao raio no seu ponto de tangência.
- Relacionando os dois fatos anteriores, pode-se afirmar que a distância da reta tangente ao centro deverá ser igual ao raio.

Agora podemos determinar a inclinação da reta (raio): vamos usar a expressão yomixoxo:

[tex3]y-y_0=m*(x-x_0)[/tex3]
[tex3]m=\frac{y-y_0}{x-x_0}[/tex3]
[tex3]m=\frac{40-0}{30-0}\\
m=\frac{40}{30}\\
m=\frac{4}{3}[/tex3]

Agora vem o pulo do gato, veja:

A característica mais conhecida de duas retas perpendiculares é que no ponto de intersecção delas é formado um ângulo reto (de medida igual a 90°), mas com o estudo da geometria analítica em cima da análise da reta é possível dizer que: Teorema : Duas retas são perpendiculares entre si se o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso da outra, ou seja:

[tex3]m_s*m_t=-1\\
(\frac{4}{3})*m_t=-1\\
m_t=\frac{-1}{\frac{4}{3}}\\
m_t=-\frac{3}{4}[/tex3]

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