Pré-Vestibular(FUVEST) Pirâmide Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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Gauss
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(FUVEST) Pirâmide

Mensagem não lida por Gauss » Sex 02 Out, 2015 12:47

No cubo de aresta a seguir, X e Y são pontos médios das arestas AB e GH respectivamente. Considere a pirâmide de vértice F e cuja base é o quadrilátero XCYE. Calcule, em função de a:
Screenshot_1.png
Screenshot_1.png (3.78 KiB) Exibido 929 vezes
A) o comprimento do segmento XY.
B) a área da base da pirâmide.
C) o volume da pirâmide.

A) A distância XY corresponde a diagonal do quadrado, portanto:

[tex3]XY=a\sqrt{2}[/tex3]

B) O quadrilátero é um losango cujas diagonais são de um quadrado e de um cubo. Portanto, temos:

[tex3]Ab=\frac{D\cdot d}{2}\\Ab=\frac{a\sqrt{3}\cdot a\sqrt{2}}{2}\\Ab=\frac{a^2\sqrt{6}}{2}[/tex3]

C) Como descobrir a altura da pirâmide?
Resposta

[tex3]A)\ a\sqrt{2}\\B)\ \frac{a^2\sqrt{6}}{2}\\C)\ \frac{a^3\sqrt{2}}{4}[/tex3]

Última edição: caju (Dom 10 Set, 2017 21:40). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3



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Out 2015 03 13:47

Re: (FUVEST) Pirâmide

Mensagem não lida por Gauss » Sáb 03 Out, 2015 13:47

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Re: (FUVEST) Pirâmide

Mensagem não lida por Gauss » Qui 08 Out, 2015 12:04

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Re: (FUVEST) Pirâmide

Mensagem não lida por Gauss » Seg 19 Out, 2015 20:48

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jrneliodias
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Re: (FUVEST) Pirâmide

Mensagem não lida por jrneliodias » Ter 20 Out, 2015 00:50

Olá, Gauss.

Não enxerguei a altura da pirâmide, porém para a achar o volume, poderíamos duplicar a pirâmide para um octaedro com os vértices em F e D. Dessa forma, o volume seria o do cubo menos quatro vezes o volume da pirâmide AEDX que aparece no cubo pela simetria.

Então:

[tex3]2V_p=a^3-4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot a\cdot a[/tex3]

[tex3]V_p=\frac{a^3}{3}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.
Última edição: caju (Dom 10 Set, 2017 21:40). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3


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Re: (FUVEST) Pirâmide

Mensagem não lida por Gauss » Ter 20 Out, 2015 09:49

Muito obrigado, jrneliodias. Então eu começo a achar que esse meu gabarito da letra C está furado.



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Re: (FUVEST) Pirâmide

Mensagem não lida por jrneliodias » Ter 20 Out, 2015 10:08

Possa ser que sim. Caso obtenha outra solução, compartilhe conosco.

Abraço. :wink:


Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

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Re: (FUVEST) Pirâmide

Mensagem não lida por Gauss » Ter 20 Out, 2015 12:59

Está bem.

Bons estudos!



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joaopcarv
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Set 2017 10 01:39

Re: (FUVEST) Pirâmide

Mensagem não lida por joaopcarv » Dom 10 Set, 2017 01:39

Boa noite, Gauss... eu sei que o seu post já é bem antigo (tem quase 2 anos kkkkk) e já até tem resposta, mas eu estava aqui navegando pelos tópicos (meio entediado, etc kkkk) e quis postar uma outra resposta para esse... sei que você só pediu o item [tex3]c)[/tex3] , mas vou resolver desde o começo para não dar a impressão de que estou "pulando" algo.

Tenho um esquema (bem confuso, eu sei! mas espacial é assim mesmo kkkk e eu sou ruim no Illustrator, etc...)

[tex3]a)[/tex3]

Chamando de [tex3]Y'[/tex3] a projeção de [tex3]Y[/tex3] no lado [tex3]CD[/tex3] . [tex3]YY' \ = \ CG\ = \ DH \ = \ a[/tex3]

Da mesma forma, [tex3]XY' \ = \ AD \ = \ BC \ = a[/tex3]

Como [tex3]XY' \ \perp \ YY'[/tex3] , então :

[tex3]XY^2 \ = \ XY'^{\ 2} + YY'^{\ 2}[/tex3]

[tex3]XY^2 \ = \ a^2 \ + a^2[/tex3]

[tex3]XY\ = a \ . \ \sqrt{2}[/tex3]

[tex3]b)[/tex3]

A gente pode perceber que :

[tex3]XC \ = \ CY \ = \ YE \ = EX[/tex3] ...

Aplicando Pitágoras em, por exemplo, [tex3]\Delta AEX[/tex3] :

[tex3]AE^2 \ + \ AX^2 \ = \ EX^2 [/tex3]

[tex3]a^2 + (\frac{a}{2})^2 \ = \ EX^2[/tex3]

[tex3]EX \ = \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2} \ \rightarrow [/tex3] Logo : [tex3]YE \ = \ CY \ = \ XC \ = \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]

Agora, veja o segmento azul [tex3]EC[/tex3] do desenho. Ele é a diagonal do cubo.

[tex3]EC \ = \ a \ . \ \sqrt{3}[/tex3]

Os [tex3]\Delta XCE[/tex3] e [tex3]\Delta YCE[/tex3] são iguais. Logo :

[tex3]A(XCYE) \ = \ \Delta XCE \ + \Delta YCE[/tex3]

[tex3]A(XCYE) \ = \ 2 \ . \ \Delta XCE[/tex3]

[tex3]\Delta XCE[/tex3] está destacado. Lei do cosseno para o ângulo [tex3]\Psi[/tex3] :

[tex3]EC^2 \ = \ XE^2 \ + \ CX^2 \ -\ 2 \ . \ XE \ . \ CX \ . \ cos(\Psi) [/tex3]

[tex3](a \ . \ \sqrt{3})^2 \ = \ (a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2})^2 \ + \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2}^2 \ - \ 2 \ . \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2} \ . \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2} \ . \ cos(\Psi)[/tex3]

Fazendo essa continha, você chega que :

[tex3]cos(\Psi) \ = \ \frac{-1}{5}[/tex3]

[tex3]sen(\Psi)^2 \ + \ cos(\Psi)^2 \ = \ 1 \ \rightarrow[/tex3] Como [tex3]cos(\Psi) \ = \ \frac{-1}{5}[/tex3] :

[tex3]sen(\Psi) \ = \ + \ \frac{2 \ . \ \sqrt{6}}{5}[/tex3] (já que [tex3]\Psi \ < \ \pi[/tex3] )

[tex3]A(XCYE) \ = \ 2 \ . \ \Delta XCE[/tex3]

[tex3]A(XCYE) \ = \ 2 \ . \ \frac{XE \ . \ XC \ . \ sen(\Psi)}{2}[/tex3]

[tex3]A(XCYE) \ = \ XE \ . \ XC \ . \ sen(\Psi)[/tex3]

[tex3]A(XCYE) \ = \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2} \ . \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2} \ . \ \frac{2 \ . \ \sqrt{6}}{5} [/tex3]

[tex3]A(XCYE) \ = \ a^2 \ . \ \frac{\sqrt{6}}{2} \ \rightarrow [/tex3] Área da base da pirâmide [tex3]XCYEF[/tex3] !

[tex3]c)[/tex3]

Ainda no [tex3]\Delta XCE[/tex3] , vamos calcular a altura relativa [tex3]h'[/tex3] ao lado [tex3]CE[/tex3] . Para isso, usamos a área :

[tex3]\frac{XE \ . \ XC \ . \ sen(\Psi)}{2} \ = \ \frac{EC \ . \ h'}{2}[/tex3]

[tex3]a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2} \ . \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2} \ . \ \frac{2 \ . \ \sqrt{6}}{5} \ = \ a \ . \ \sqrt{3} \ . \ h'[/tex3]

[tex3]h' \ = \ a \ . \frac{\sqrt{2}}{2} \ \rightarrow [/tex3] altura relativa ao lado [tex3]CE[/tex3] !

[tex3]h'[/tex3] é o segmento vermelho do desenho.

Como a altura da pirâmide [tex3]H \ (pir) \ \perp \ XYCE[/tex3] e esta altura é fincada no "centro" da base (onde [tex3]h'[/tex3]
também é fincada), podemos criar mais um Pitágoras (o destacado no desenho). Veja que ele é composto por :

[tex3]\rightarrow \ h'[/tex3] ;
[tex3]\rightarrow \ H \ (pir)[/tex3] (catetos)
[tex3]\rightarrow \ XF[/tex3] (hipotenusa)

Veja no desenho que [tex3]XF \ = \ XE \ = \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]

[tex3]XF^2 \ = \ H \ (pir) ^2 \ + \ h' ^{\ 2}[/tex3]

[tex3](a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2})^2 \ = \ H \ (pir) ^2 \ + \ (a \ . \frac{\sqrt{2}}{2})^2[/tex3]

[tex3]H \ (pir) \ = \ a \ . \ \frac{\sqrt{3}}{2} \ \rightarrow[/tex3] Altura da pirâmide !

Por fim, [tex3]V(XCYEF) \ = \ \frac{A(XCYE) \ . \ H \ (pir)}{3} [/tex3]

[tex3]V(XCYEF) \ = \ \frac{a^2 \ . \ \frac{\sqrt{6}}{2} \ . \ a \ . \ \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} [/tex3]

[tex3]V(XCYEF) \ = \ \frac{a^2 \ . \ \cancel{\sqrt{3}} \ . \ \sqrt{2} \ . \ a \ . \ \cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{3} \ . \ 2 \ . \ 2} [/tex3]

[tex3]V(XCYEF) \ = \ \frac{a^3 \ . \ \sqrt{2}}{4} \ \rightarrow[/tex3] Volume da pirâmide !

Penso que é isso... rsrsrs... não sei se pode sair aí respondendo tópicos antigos ou se isso infringe as regras do fórum (sou relativamente novo aqui) :D
Anexos
GAUSS.jpg
GAUSS.jpg (70.21 KiB) Exibido 815 vezes
Última edição: joaopcarv (Dom 10 Set, 2017 01:42). Total de 2 vezes.


"That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all."
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Re: (FUVEST) Pirâmide

Mensagem não lida por joaopcarv » Dom 10 Set, 2017 01:43

Ah agora sim o anexo certo foi :roll:



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