Ensino Médio ⇒ Produtos notáveis e fatoração Tópico resolvido

[Matheus1996]

Gostaria de ajuda na resolução desta questão.

Se a e b são números reais, tais que a>b>0, então podemos afirma que [tex3]sqrt {(a^2+b^2)^2 -4a^2b^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sqrt {(a^2+b^2)^2 -4a^2b^2}[/tex3]

é igaul a:

Gabarito : (a+b) (a-b)

[emanuel9393]

Olá, Matheus!

Resolução
Temos que:

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[tex3]\sqrt{(a^2+b^2)^2 - 4a^2b^2} = \sqrt{a^4+b^4 +2a^2b^2-4a^2b^2} = \sqrt{a^4 -2a^2b^2-b^4}=\sqrt{(a^2-b^2)^2} \\ \sqrt{(a^2-b^2)^2} = |a^2-b^2|[/tex3]

Uma vez que

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[tex3]a>b>0[/tex3]

, temos que

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[tex3](a-b)>0[/tex3]

, assim como

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[tex3](a+b)>0[/tex3]

. Isso mostra que

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[tex3]a^2-b^2=(a-b)(a+b)>0[/tex3]

e, com isso,

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[tex3](a^2 - b^2) >0 \Leftrightarrow |a^2-b^2|= a^2 - b^2[/tex3]

. Resumindo tudo:

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[tex3]\sqrt{(a^2+b^2)^2 - 4a^2b^2} = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)[/tex3]

Grande abraço!