Pré-Vestibular ⇒ (MACK) Geometria Espacial - Cubo Tópico resolvido

[Gauss]

No cubo da figura a seguir, a distância do vértice A à diagonal PQ é [tex3]\sqrt{6}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{6}[/tex3]

. Então, o volume do cubo é:

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a) [tex3]9\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]9\sqrt{3}[/tex3]

b) [tex3]8\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]8\sqrt{3}[/tex3]

c) 27
d) 64
e) 125

Questão aparentemente simples, mas não estou conseguindo resolver...

Resposta

---

C

[roberto]

cubo.png (2.73 KiB) Exibido 8737 vezes

O volume do cubo é: [tex3]a^{3}[/tex3]

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[tex3]a^{3}[/tex3]

, onde [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

é sua aresta! Então vamos descobrir qto vale essa aresta! Da figura, temos: [tex3]AP=a\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]AP=a\sqrt{2}[/tex3]

, [tex3]AQ=a[/tex3]

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[tex3]AQ=a[/tex3]

; [tex3]PQ=a\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]PQ=a\sqrt{3}[/tex3]

Do [tex3]\Delta APQ[/tex3]

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[tex3]\Delta APQ[/tex3]

, pelas relações métricas, temos: PQ.AH=AP.AQ, daí descobrimos que [tex3]AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}[/tex3]

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[tex3]AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}[/tex3]

Mas a questão diz que [tex3]AH=\sqrt{6}[/tex3]

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[tex3]AH=\sqrt{6}[/tex3]

, Então igualamos: [tex3]\sqrt{6}=\frac{a\sqrt{6}}{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{6}=\frac{a\sqrt{6}}{3}[/tex3]

E chegamos ao valor da aresta [tex3]a=3[/tex3]

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[tex3]a=3[/tex3]

Volume é [tex3]3^{3}=27[/tex3]

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[tex3]3^{3}=27[/tex3]

[Gauss]

Olá, Roberto. Muito obrigado pela resolução. Sei que é bastante simples. Mas de onde surge esta relação PQ.AH=AP.AQ?

[roberto]

Olá, Roberto. Muito obrigado pela resolução. Sei que é bastante simples. Mas de onde surge esta relação PQ.AH=AP.AQ?

Estude "relações métricas no triângulo retângulo"! Essas relações surgem da semelhança de triângulos e diz assim: "o produto da hipotenusa pela altura que lhe é relativa é igual ao produto dos catetos!"

[Gauss]

Muito obrigado, Roberto. Inclusive, a parte de relações métricas no triângulo retângulo, eu já até estudei. No entanto, nunca havia visto esta relação, "o produto da hipotenusa pela altura que lhe é relativa é igual ao produto dos catetos!". Estudo pelo Dante e, infelizmente, na parte de geometria e trigonometria, ele não é muito bom... Enfim, nunca mais esqueço esta relação e, novamente, muito obrigado !