Estou com dúvida em como resolver o exercicio abaixo, gostaria de explicação.
Considere a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}[/tex3]
[tex3]\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}[/tex3]
analise se esta série converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.
Explicite os testes utilizados e justifique as passagens
Ensino Superior ⇒ Dúvidas sobre um exercicio de Série Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Ago 2015
29
13:23
Dúvidas sobre um exercicio de Série
Editado pela última vez por Hugo em 29 Ago 2015, 13:23, em um total de 1 vez.
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Cardoso1979
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Out 2022
12
09:04
Re: Dúvidas sobre um exercicio de Série
Observe
Primeiro modo:
Como f( x ) = 1/x [tex3]^\frac{1}{2}[/tex3] → f'( x ) = - 1/( 2x [tex3]^\frac{3}{2}[/tex3] ) < 0 → f( x ) é decrescente → [tex3]a_{n+1}[/tex3] < [tex3]a_{n}[/tex3] , e [tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}[/tex3] an =
[tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}[/tex3] 1/( √n ) = 0 , a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] converge pelo Teste de Séries Alternadas. Como [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] diverge , a série dada converge condicionalmente.
Segundo modo:
Converge condicionalmente , pois 1/√n > 1/√( n + 1 ) > 0 e [tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}[/tex3] 1/( √n ) = 0 → convergência; mas [tex3]\sum_{n=1}^{+∞}[/tex3] | an | = [tex3]\sum_{n=1}^{+∞}[/tex3] 1/n [tex3]^\frac{1}{2}[/tex3] é uma série p divergente.
Obs. ( À parte )
A série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] converge pelo Teste de Convergência Alternada , como un = 1/√n > 0 para todo n ≥ 1 ; n ≥ 1 → n + 1 ≥ n → √( n + 1 ) ≥ √n → 1/√( n + 1 ) ≤ 1/√n → u[tex3]_{n+1}[/tex3] ≤ un ; [tex3]\lim_{ n \rightarrow + \infty}[/tex3] un = [tex3]\lim_{ n \rightarrow + \infty}[/tex3] 1/√n = 0.
Mais um usuário que teve a sua única pergunta resolvida!
Excelente estudo!
Primeiro modo:
Como f( x ) = 1/x [tex3]^\frac{1}{2}[/tex3] → f'( x ) = - 1/( 2x [tex3]^\frac{3}{2}[/tex3] ) < 0 → f( x ) é decrescente → [tex3]a_{n+1}[/tex3] < [tex3]a_{n}[/tex3] , e [tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}[/tex3] an =
[tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}[/tex3] 1/( √n ) = 0 , a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] converge pelo Teste de Séries Alternadas. Como [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] diverge , a série dada converge condicionalmente.
Segundo modo:
Converge condicionalmente , pois 1/√n > 1/√( n + 1 ) > 0 e [tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}[/tex3] 1/( √n ) = 0 → convergência; mas [tex3]\sum_{n=1}^{+∞}[/tex3] | an | = [tex3]\sum_{n=1}^{+∞}[/tex3] 1/n [tex3]^\frac{1}{2}[/tex3] é uma série p divergente.
Obs. ( À parte )
A série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] converge pelo Teste de Convergência Alternada , como un = 1/√n > 0 para todo n ≥ 1 ; n ≥ 1 → n + 1 ≥ n → √( n + 1 ) ≥ √n → 1/√( n + 1 ) ≤ 1/√n → u[tex3]_{n+1}[/tex3] ≤ un ; [tex3]\lim_{ n \rightarrow + \infty}[/tex3] un = [tex3]\lim_{ n \rightarrow + \infty}[/tex3] 1/√n = 0.
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