Ensino Médio ⇒ Números finitos ou dízimas infinitas

[lorramrj]

Olá galera, tenho uma dúvida:
Aprendi que frações irredutíveis sendo equivalente a uma fração decimal gera uma expansão decimal finita.

Também, que uma fração irredutível é equivalente a uma fração decimal quando seu denominador não tem fatores primos diferentes de 2 e 5.

Já frações irredutíveis que apresentam no denominador números primos diferentes de 2 e 5, tem como expansão decimal uma dízima periódica infinita.

Portanto, dividindo-se dois inteiros quaisquer, a representação decimal obtida é sempre finita ou infinita, mas periódica.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Porém, uma questão me pergunta se os números 0,1234567 e 16909/136963 são iguais:

Pelo meu raciocínio - segundo a teoria - esse denominador com certeza apresenta fatores primos diferentes de 2 e 5, portanto, sua expansão decimal vai ser uma infinita periódica.

Mas testando isso na calculadora com precisão de 15 casas decimais obtive como resultado dessa divisão:

16909/136963 = 0,123456699984667

Minha dúvida é o seguinte:

A calculadora apresentou apenas a parte da dízima infinita, então, certamente se for colocando os próximos dígitos dessa extensão decimal vai chegar um momento que o período da dízima vai aparecer ?

Então, como resposta posso dizer que os números não são iguais e que 0,1234567 é apenas uma aproximação com 7 casas decimais ?

[csmarcelo]

Exatamente. A fração mencionada não possui equivalente decimal e, portanto, sua representação decimal resulta em uma dízima infinita periódica. Portanto, qualquer representação finita será apenas uma aproximação.