Calcular os seguintes números complexos:
[tex3](-1+i)^{6}[/tex3]
[tex3]\(\sqrt{2}+i\sqrt{2})^{6}[/tex3]
OBs: desenvolvimento em forma trigonométrica e resposta final na forma algébrica.
Ensino Médio ⇒ Potenciação de número complexo
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gabemreis
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Ago 2015
12
15:01
Re: Potenciação de número complexo
Primeiramente, vamos lembrar como é a fórmula da potenciação de um número complexo na forma trigonométrica:
[tex3]z=p^n(cosn\cdot\alpha+isenn\cdot\alpha)[/tex3] , na qual [tex3]n[/tex3] é o expoente.
Dado o número complexo [tex3](-1+i)^{6}[/tex3] , vamos achar o seu afixo p, que é dado pelo módulo do número complexo:
[tex3]p=|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex3] , assim, temos que [tex3]p=\sqrt{(-1)^2+1^2}[/tex3] , portanto [tex3]p=\sqrt{2}[/tex3]
Temos, então, que o afixo desse número está no segundo quadrante, e o ângulo formado é dado por:
[tex3]sen\alpha=\frac{b}{|z|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3] , portanto, [tex3]\alpha=135^o[/tex3] , uma vez que o afixo está no segundo quadrante.
[tex3]sen135^o=\frac{3\pi}{4}[/tex3]
Colocando na fórmula, temos:
[tex3]z=\sqrt{2}^6(cos6\cdot\frac{3\pi}{4}+isen6\cdot\alpha\frac{3\pi}{4})[/tex3]
[tex3]z=8(cis\frac{9\pi}{2}+isen\frac{9\pi}{2})[/tex3]
Sendo [tex3]\frac{9\pi}{2}[/tex3] correspondente ao ângulo de [tex3]90^o[/tex3] , o valor do [tex3]cos=0[/tex3] e [tex3]sen=1[/tex3] , portanto:
[tex3]z=8i[/tex3]
Espero ter ajudado! Tente fazer o outro, se você não conseguir, eu resolvo
[tex3]z=p^n(cosn\cdot\alpha+isenn\cdot\alpha)[/tex3] , na qual [tex3]n[/tex3] é o expoente.
Dado o número complexo [tex3](-1+i)^{6}[/tex3] , vamos achar o seu afixo p, que é dado pelo módulo do número complexo:
[tex3]p=|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex3] , assim, temos que [tex3]p=\sqrt{(-1)^2+1^2}[/tex3] , portanto [tex3]p=\sqrt{2}[/tex3]
Temos, então, que o afixo desse número está no segundo quadrante, e o ângulo formado é dado por:
[tex3]sen\alpha=\frac{b}{|z|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3] , portanto, [tex3]\alpha=135^o[/tex3] , uma vez que o afixo está no segundo quadrante.
[tex3]sen135^o=\frac{3\pi}{4}[/tex3]
Colocando na fórmula, temos:
[tex3]z=\sqrt{2}^6(cos6\cdot\frac{3\pi}{4}+isen6\cdot\alpha\frac{3\pi}{4})[/tex3]
[tex3]z=8(cis\frac{9\pi}{2}+isen\frac{9\pi}{2})[/tex3]
Sendo [tex3]\frac{9\pi}{2}[/tex3] correspondente ao ângulo de [tex3]90^o[/tex3] , o valor do [tex3]cos=0[/tex3] e [tex3]sen=1[/tex3] , portanto:
[tex3]z=8i[/tex3]
Espero ter ajudado! Tente fazer o outro, se você não conseguir, eu resolvo
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