IME / ITA ⇒ (AFA - 2016) Números Complexos Tópico resolvido

[brunoafa]

Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos [tex3]z=x+yi[/tex3]

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[tex3]z=x+yi[/tex3]

, onde [tex3]i=\sqrt{-1}[/tex3]

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[tex3]i=\sqrt{-1}[/tex3]

e cujos afixos são os pontos [tex3]P(x,y) \in R^2[/tex3]

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[tex3]P(x,y) \in R^2[/tex3]

Dada a equação [tex3](z-1+i)^{4}=1[/tex3]

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[tex3](z-1+i)^{4}=1[/tex3]

, sobre os elementos que compõe seu conjunto solução, é INCORRETO afirmar que
a) apenas um deles é imaginário puro
b) todos podem ser escritos na forma trigonométrica
c) o conjugado do que possui maior argumento é [tex3]1+2i[/tex3]

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[tex3]1+2i[/tex3]

d) nem todos são números imaginários

[Gu178]

Olá.

Basta jogar o 4 para o outro lado em forma de raiz.

[tex3](z-1+i)^{ 4 }=1\\ (z-1+i)=\sqrt[4]{1}[/tex3]

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[tex3](z-1+i)^{ 4 }=1\\ (z-1+i)=\sqrt[4]{1}[/tex3]

Se você usar 2° fórmula de Moivre (para esse caso não é necessário), você vai ver que:

[tex3]\sqrt[4]{1} =\begin{cases} 1 \\ i \\ -1 \\ -i \end{cases}[/tex3]

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[tex3]\sqrt[4]{1} =\begin{cases} 1 \\ i \\ -1 \\ -i \end{cases}[/tex3]

Então agora é só igualar em cada caso.

[tex3]z_{ 1 }=1+1-i\\ z_{ 1 }=2-i[/tex3]

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[tex3]z_{ 1 }=1+1-i\\ z_{ 1 }=2-i[/tex3]

[tex3]z_{ 2 }=i+1-i\\ z_{ 2 }=1[/tex3]

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[tex3]z_{ 2 }=i+1-i\\ z_{ 2 }=1[/tex3]

[tex3]z_{ 3 }=-1+1-i\\ z_{ 3 }=-i[/tex3]

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[tex3]z_{ 3 }=-1+1-i\\ z_{ 3 }=-i[/tex3]

[tex3]z_{ 4 }=-i+1-i\\ z_{ 4 }=1-2i[/tex3]

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[tex3]z_{ 4 }=-i+1-i\\ z_{ 4 }=1-2i[/tex3]

E analisando cada caso você percebe-se facilmente que a única incorreta é a letra C.

[nielogrx]

Por que não precisou usar a segunda fórmula de Moivre, nesse caso?

[snooplammer]

nielogrx, pois são resultados "notáveis", mas se não tiver esses resultados na mente, basta fazer que

[tex3]1=\cis 2\pi[/tex3]

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[tex3]1=\cis 2\pi[/tex3]

[tex3]\sqrt[4]{1}=\cis \frac{2\pi +2k\pi}{4}=\cis \frac{\pi+k\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt[4]{1}=\cis \frac{2\pi +2k\pi}{4}=\cis \frac{\pi+k\pi}{2}[/tex3]

[tex3]k=0 \rightarrow i[/tex3]

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[tex3]k=0 \rightarrow i[/tex3]

[tex3]k=1 \rightarrow -1[/tex3]

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[tex3]k=1 \rightarrow -1[/tex3]

[tex3]k=2 \rightarrow -i[/tex3]

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[tex3]k=2 \rightarrow -i[/tex3]

[tex3]k=3 \rightarrow 1[/tex3]

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[tex3]k=3 \rightarrow 1[/tex3]