Dentre os triângulos OAB com vértice O na origem e os outros A e B, respectivamente, nas retas y=1 e y=3 é alinhados com o ponto P(7,0), determinar aquele para o qual é mínima a soma dos quadrados dos lados.
Resposta
A (5,1) B (1,3)
Última edição: gabrielifce (Sex 03 Jul, 2015 19:14). Total de 1 vez.
Desenhando um plano cartesiano, basicamente teremos 3 pontos: a origem O (0,0), o ponto A (a,1), e o ponto B (b,3). Os lados do triângulo são OA, OB e AB. Se formos falar de tamanho, esses lados medem [tex3]D_{OA}[/tex3]
seja mínimo. Escrevendo as distâncias em função dos pontos que definimos:
[tex3][(a-0)^2 + (1-0)^2] + [(b-0)^2 + (3-0)^2] + [(a-b)^2 + (1-3)^2] = a^2+b^2+14+(a-b)^2[/tex3]
Utilizando a outra informação do enunciado, sabemos que os pontos A, B e (7,0) são colineares, então o determinante da matriz formado por esses pontos é 0 (desculpe-me mas não encontrei como montar o determinante então montei no formato de matriz mesmo, mas considere como determinante):
[tex3]\begin{pmatrix}
7 & 0 & 1 \\
a & 1 & 1 \\
b & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Seja uma função f(a) tal que f(a)=14a²-140a+406. Para encontrar a menor soma dos quadrados dos lados possível, queremos que essa função seja mínima, então basta encontrar [tex3]a[/tex3]
tal que a função seja mínima. Há vários modos de fazer isso, pessoalmente prefiro derivar e igualar a zero:
f'(a)=28a-140
28a-140=0 [tex3]\rightarrow[/tex3]
A superfície de um planeta esférico é dividida entre os países de uma federação, de tal forma que nenhum país engloba outros países, cada país faz fronteira com exatamente três outros e nenhuma...
a) Seja LMN um triangulo tal que LN\leq 1 e MN\leq 1 e LM = x, 0 < x < 2, e K o pé da altura relativa ao lado LM. Mostre que
NK\leq \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}
Três faces de um tetraedro regular de aresta 1 são tangentes a uma esfera e o plano que contém a quarta face do tetraedro passa pelo centro da esfera. Determine a superfície total da esfera.
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Observe o seguinte anexo:
abc.jpg
Usaremos a simetria espacial do tetraedro regular, nomeando seus vértices por \mathsf{A, B, C, V.} Seja \mathsf{l \ = \ 1} o lado do tetraedro.
Seja n um inteiro positivo tal que 3n+7 é um quadrado perfeito. Prove que n+3 é a soma de três quadrados perfeitos, com possível repetição.
Eu:
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3n+7=a^2
3n+9=a^2+2\implies n + 3 = \frac{a^2+2}{3}=b^2+c^2+d^2 :o
a^2+2=3b^2+3c^2+3d^2
acho que o jeito é separar em casos
1º caso: a = 3m + 1:
3n+7=(3m+1)^2\implies n + 3 =...