Pré-Vestibular ⇒ (CESGRANRIO) Funções Trigonométricas

[Vestibulando]

Se 0 [tex3]\leq[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\leq[/tex3]

x [tex3]\leq \pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\leq \pi[/tex3]

, as raízes da equação cos²x - sen² ([tex3]\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi[/tex3]

- x) = 1/2 são:


Resposta: [tex3]\pi /6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi /6[/tex3]

e 5 [tex3]\pi /6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi /6[/tex3]

Como chegar à resposta?

[csmarcelo]

Identidades trigonométricas e arco duplo.

1)

Código: Selecionar tudo

[tex3]\sin^2(\pi-x)=\sin^2x[/tex3]

2)

Código: Selecionar tudo

[tex3]\cos^2x-\sin^2x=\cos2x[/tex3]

Portanto,

Código: Selecionar tudo

[tex3]\cos2x=\frac{1}{2}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{\pi}{6}+k\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k\pi\end{cases},k\in\mathbb{N}[/tex3]

Como

Código: Selecionar tudo

[tex3]0\leq x\leq\pi[/tex3]

, temos que

Código: Selecionar tudo

[tex3]k=0[/tex3]

para as duas possibilidades e, portanto,

Código: Selecionar tudo

[tex3]S=\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right\}[/tex3]

[Vestibulando]

Portanto,

Código: Selecionar tudo

[tex3]\cos2x=\frac{1}{2}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{\pi}{6}+k\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k\pi\end{cases},k\in\mathbb{N}[/tex3]

Se cos 2x = 1/2, então cos x é igual a [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

? Como chegou nisso? Não me lembro dessa propriedade.

Me desculpe pela ignorância.

[csmarcelo]

O raciocínio não foi

Código: Selecionar tudo

[tex3]\boxed{\cos2x=\frac{1}{2}}\Rightarrow\boxed{\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex3]

, mas

Código: Selecionar tudo

[tex3]\boxed{\cos2x=\frac{1}{2}}\Rightarrow\boxed{2x\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{\pi}{3}{\color{red}\pm}2k\pi\\x=\frac{5\pi}{3}{\color{red}\pm}2k\pi\end{cases},k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\boxed{\begin{cases}x=\frac{\frac{\pi}{3}{\color{red}\pm}2k\pi}{2}\\x=\frac{\frac{5\pi}{3}{\color{red}\pm}2k\pi}{2}\end{cases},k\in\mathbb{N}}[/tex3]

[dudinha]

Cara, eu fiz diferente, de uma forma mais simples (creio eu)
Sabe-se que sen (a-b) = sen a . cos b - sen b . cos a
Então [tex3]sen (\pi - x) = sen \pi . cos x - sen x . cos \pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen (\pi - x) = sen \pi . cos x - sen x . cos \pi[/tex3]

Como sen \pi = 0; sen x = 1; temos que
[tex3]sen (\pi - x)= sen x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen (\pi - x)= sen x[/tex3]

O problema informou que [tex3]\cos^2x-sen^2(\pi- x) = \frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos^2x-sen^2(\pi- x) = \frac{1}{2}[/tex3]

Substituindo, temos:
[tex3]cos^2x-sen^2x = \frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos^2x-sen^2x = \frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\cos^2x+sen^2x=1 \rightarrow cos^2x=1-sen^2x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos^2x+sen^2x=1 \rightarrow cos^2x=1-sen^2x[/tex3]

[tex3]1-sen^2x-sen^2x=\frac{1}{2} \rightarrow
2sen^2x=\frac{1}{2}\rightarrow sen^2x=\frac{1}{4}\rightarrow sen x=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-sen^2x-sen^2x=\frac{1}{2} \rightarrow
2sen^2x=\frac{1}{2}\rightarrow sen^2x=\frac{1}{4}\rightarrow sen x=\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]S=\frac{\pi }{6}, \frac{5\pi }{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=\frac{\pi }{6}, \frac{5\pi }{6}[/tex3]