Ensino Médio ⇒ Quadrado perfeito

[Ittalo25]

Por que:

Código: Selecionar tudo

[tex3]2^{m-2r}-2^{n-2r}[/tex3]

com

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[tex3]m>n[/tex3]

,

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[tex3]m\geq 2[/tex3]

e

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[tex3]m,n,r\in \mathbb{N}[/tex3]

Só é um quadrado perfeito se:

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[tex3]\begin{cases}
m-2r=1 \\
n-2r=0
\end{cases}[/tex3]

Por que só existe essa solução?

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]2^{n-2r}(2^{m-n}-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{n-2r}(2^{m-n}-1)[/tex3]

como o termo em parenteses é ímpar o termo de fora deve ser uma potência par de 2 e o termo em parenteses deve ser um quadrado perfeito.
Se m-n >2 teremos um absurdo pois k² = 1 ou 0 mod 8 (ou 4, mas no caso nunca acontece tb)
se m-n =2, teremos o termo entre parenteses sendo 3 mod 8, absurdo.
logo m= n+1
logo o número é da forma [tex3]2^{n-2r}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{n-2r}[/tex3]

eu acredito que se n-2r for par essa diferença também dará um quadrado perfeito
veja: se n=8, r=3, m=9 teremos a diferença dando 4, que é quadrado perfeito!