IME / ITA ⇒ (EN - 1997) Pirâmides

[cbdp]

A área total de uma pirâmide tringular regular é 36 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

cm² e o raio do círculo inscrito na base mede 2cm. A altura da pirâmide é, em cm:

(A) 3 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

(B) 2 [tex3]\sqrt{15}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{15}[/tex3]

(C) 4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

(D) 4
(E) 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Resposta

---

Resposta: E

Olá, não consigo encontrar a resposta. Não sei onde estou errando. Alguém poderia ajudar?

[Gu178]

Oi, tudo bom?

Se o círculo está inscrito na base desta pirâmide, o raio desse círculo será o apótema da base.

E através do apótema acharemos a altura desse triângulo.

[tex3]r=\frac{h}{3} \\ 2=\frac{h}{3} \\h=6[/tex3]

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[tex3]r=\frac{h}{3} \\ 2=\frac{h}{3} \\h=6[/tex3]

Agora acharemos o lado desse desse triãngulo equilátero.

[tex3]h=\frac { l\sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \\ 6=\frac { l\sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \\ 4\sqrt { 3 } =l[/tex3]

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[tex3]h=\frac { l\sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \\ 6=\frac { l\sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \\ 4\sqrt { 3 } =l[/tex3]

Tendo o lado acharemos o valor da área da base.

[tex3]Ab=\frac { l^{ 2 }\sqrt { 3 } }{ 4 } \\ \\ Ab=\frac { (4\sqrt { 3 } )^{ 2 }\sqrt { 3 } }{ 4 } \\ \\ Ab=12\sqrt { 3 } cm^{ 2 }[/tex3]

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[tex3]Ab=\frac { l^{ 2 }\sqrt { 3 } }{ 4 } \\ \\ Ab=\frac { (4\sqrt { 3 } )^{ 2 }\sqrt { 3 } }{ 4 } \\ \\ Ab=12\sqrt { 3 } cm^{ 2 }[/tex3]

Agora acharemos a área lateral.

[tex3]At=Ab+Al\\ 36\sqrt { 3 } =12\sqrt { 3 } +Al\\ Al=24\sqrt { 3 } cm^{ 2 }[/tex3]

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[tex3]At=Ab+Al\\ 36\sqrt { 3 } =12\sqrt { 3 } +Al\\ Al=24\sqrt { 3 } cm^{ 2 }[/tex3]

Tendo o valor da área lateral acharemos o apótema da pirãmide.

[tex3]Al=3*\frac { b*ap }{ 2 } \\ \\ 24\sqrt { 3 } =3*\frac { 4\sqrt { 3 } *ap }{ 2 } \\ \\ ap=4[/tex3]

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[tex3]Al=3*\frac { b*ap }{ 2 } \\ \\ 24\sqrt { 3 } =3*\frac { 4\sqrt { 3 } *ap }{ 2 } \\ \\ ap=4[/tex3]

Usando pitágoras acharemos o valor da altura da pirãmide.

[tex3]ap^{ 2 }=r^{ 2 }+H^{ 2 }\\ \\ 4^{ 2 }=2^{ 2 }+H^{ 2 }\\ \\ \boxed {H=2\sqrt { 3 }}[/tex3]

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[tex3]ap^{ 2 }=r^{ 2 }+H^{ 2 }\\ \\ 4^{ 2 }=2^{ 2 }+H^{ 2 }\\ \\ \boxed {H=2\sqrt { 3 }}[/tex3]

[cbdp]

Obrigada http://www.tutorbrasil.com.br/forum/Gu178 pela excelente explicação, entendi tudo!

[diegomercante]

OK