Pré-Vestibular

Gu178 · Mensagem não lida por **Gu178** » 12 Mai 2015, 19:34

Consideramos a equação

[tex3](tga)^{cos^{2}x-(cosx)logb^{7}+8(logb)^{2}}=(cotga)^{-2(logb)^{2}}[/tex3]

onde [tex3]\frac{\pi }{4}<a<\frac{\pi}{2}[/tex3] , [tex3]a[/tex3] fixado, b>0 e logb indica o lagaritmo neperiano de b. A equação acima tem solução em x se:

(A)0<logb

(B)-[tex3]\frac{1}{7}[/tex3] <logb<2

(C)-2<logb<[tex3]\frac{1}{7}[/tex3]

(D)-2<logb<1

(E)-[tex3]\frac{1}{6}[/tex3] <logb<[tex3]\frac{1}{8}[/tex3]

Infelizmente eu não tenho o gabarito da questão.

Mensagem não lidapor **jedi** » 12 Mai 2015, 23:04 · Mensagem não lida por **jedi** » 12 Mai 2015, 23:04

[tex3](tga)^{cos^{2}x-(cosx)logb^{7}+8(logb)^{2}}=(cotga)^{-2(logb)^{2}}[/tex3]

[tex3](tga)^{cos^{2}x-(cosx)logb^{7}+8(logb)^{2}}=\frac{1}{(tga)^{-2(logb)^{2}}[/tex3]

[tex3](tga)^{cos^{2}x-(cosx)logb^{7}+8(logb)^{2}}=(tga)^{2(logb)^{2}[/tex3]

portanto

[tex3]cos^{2}x-(cosx)logb^{7}+8(logb)^{2}=2(logb)^{2}[/tex3]

[tex3]cos^{2}x-(cosx)logb^{7}+6(logb)^{2}=0[/tex3]

substituindo $cos(x)=y$

[tex3]y^2-y.logb^{7}+6(logb)^{2}=0[/tex3]

[tex3]y^2-y.7logb+6(logb)^{2}=0[/tex3]

$y=\frac{7\log b\pm\sqrt{(7\log b)^2-4.6(\log b)^2}}{2}$

$y=\frac{7\log b\pm\sqrt{25(\log b)^2}}{2}$

$y=\frac{7\log b\pm 5\log b}{2}$

$y=\frac{7\log b - 5\log b}{2}=\log b$

portanto $cos(x)=\log b$

mas o valor da função cosseno tem que estar entre -1 e 1
portanto $-1\leq \log b\leq 1$

para a outra raiz

$y=\frac{7\log b + 5\log b}{2}=6\log b$

portanto $cos(x)=6\log b$

portanto $-\frac{1}{6}\leq\log b\leq \frac{1}{6}$

portanto $-1\leq \log b\leq 1$

satisfaz as condições para ter raiz real

Gu178 · Mensagem não lida por **Gu178** » 13 Mai 2015, 10:16

Obrigado, excelente resolução, me ajudou muito.

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