Resposta
4 [tex3]\sqrt[3]{\frac{x^{2}(1+x)}{1-x}}[/tex3]
Olimpíadas ⇒ (Ibero) Função Composta Tópico resolvido
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gabrielifce
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Mai 2015
06
00:03
(Ibero) Função Composta
Ache todas as [tex3]f[/tex3]
tais que [tex3][f(x)]^{2}\cdot f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=64x[/tex3]
, para todo [tex3]x[/tex3]
distinto de [tex3]0[/tex3]
, [tex3]1[/tex3]
e [tex3]-1[/tex3]
.
4 [tex3]\sqrt[3]{\frac{x^{2}(1+x)}{1-x}}[/tex3]
4 [tex3]\sqrt[3]{\frac{x^{2}(1+x)}{1-x}}[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 05 Jan 2018, 20:16, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
Razão: TeX --> TeX3
Incrível.
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gabrielifce
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Ittalo25
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Jan 2018
05
13:41
Re: (Ibero) Função Composta
Substituindo: [tex3]\frac{1-x}{1+x}[/tex3]
por [tex3]x[/tex3]
[tex3]\[f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\]^2 \cdot f(x) = \frac{64-64x}{1+x} [/tex3]
Multiplicando pela expressão do enunciado:
[tex3]\[f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\]^3 \cdot f(x)^3 = 64x \cdot \left(\frac{64-64x}{1+x}\right) [/tex3]
[tex3]\left(\frac{64x}{[f(x)]^2}\right)^3 \cdot f(x)^3 = 64x \cdot \left(\frac{64-64x}{1+x}\right) [/tex3]
[tex3]\boxed {4\sqrt[3]{\frac{x^2 \cdot (1+x)}{1-x}} = f(x)}[/tex3]
[tex3]\[f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\]^2 \cdot f(x) = \frac{64-64x}{1+x} [/tex3]
Multiplicando pela expressão do enunciado:
[tex3]\[f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\]^3 \cdot f(x)^3 = 64x \cdot \left(\frac{64-64x}{1+x}\right) [/tex3]
[tex3]\left(\frac{64x}{[f(x)]^2}\right)^3 \cdot f(x)^3 = 64x \cdot \left(\frac{64-64x}{1+x}\right) [/tex3]
[tex3]\boxed {4\sqrt[3]{\frac{x^2 \cdot (1+x)}{1-x}} = f(x)}[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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