Sabendo-se que x é um número real, o conjunto
solução da inequação 5.[tex3]4^{x}[/tex3]
-2.[tex3]5^{2x}[/tex3]
> S.[tex3]10^{x}[/tex3]
S=[tex3]\frac{1}{3} + \frac{8}{27} + \frac{64}{243}[/tex3]
+... é:
A)S= { }
B)S= {x<0}
C)S={x>0}
D) S ={x < - [tex3]\frac{2}{5}[/tex3]
ou x> 1}
E) S= { - [tex3]\frac{2}{5}[/tex3]
< x < 1}
Resposta : (B)
Pré-Vestibular ⇒ Unitau- Inequação
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fabit
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Mai 2015
12
16:07
Re: Unitau- Inequação
Primeiro vamos ver esse S...
[tex3]S=\sum_{i=0}^{+\infty}\(\frac{2^{3i}}{3^{1+2i}}\)=\frac{2^0}{3^1}+\frac{2^3}{3^3}+\frac{2^6}{3^5}+\cdots=\frac{1}{3}+\frac{8}{27}+\frac{64}{243}+\cdots[/tex3]
É uma PG infinita de razão [tex3]q=\frac{2^3}{3^2}=\frac{8}{9}[/tex3] . Então sua soma é [tex3]S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1/3}{1/9}=3[/tex3]
Isso tudo foi só pra poder escrever a inequação assim:
[tex3]5\cdot4^x-2\cdot5^{2x}>3\cdot10^x[/tex3]
Penso que 10 deva ser escrito como 2x5 e ficamos com [tex3]5\cdot(2^2)^x-2\cdot5^{2x}>3\cdot(2\cdot5)^x[/tex3]
Logo [tex3]5\cdot2^{2x}-2\cdot5^{2x}>3\cdot2^x\cdot5^x[/tex3]
Vou dividir tudo por [tex3]2^{2x}[/tex3] e ver o que dá...
[tex3]5-2\(\frac{5}{2}\)\cdot^{2x}>3\(\frac{5}{2}\)^x[/tex3] .
Mudança de variável: [tex3]k=\(\frac{5}{2}\)^x[/tex3]
[tex3]5-2k^2>3k\Rightarrow-2k^2-3k+5>0[/tex3] .
O discriminante é [tex3]9-4\cdot(-2)\cdot5=49=7^2[/tex3]
Os limites do intervalo são [tex3]\frac{-3\pm7}{4}[/tex3] (1 e -2,5). A solução fica entre esses limites.
[tex3]\frac{-5}{2}<k<1\Rightarrow\frac{-5}{2}<\(\frac{5}{2}\)^x<1[/tex3] O lado esquerdo é garantido porque exponenciais nunca negativam. Já o lado direito só vale se x<0.
Letra B.
Beleza? Posso ter errado algo.
[tex3]S=\sum_{i=0}^{+\infty}\(\frac{2^{3i}}{3^{1+2i}}\)=\frac{2^0}{3^1}+\frac{2^3}{3^3}+\frac{2^6}{3^5}+\cdots=\frac{1}{3}+\frac{8}{27}+\frac{64}{243}+\cdots[/tex3]
É uma PG infinita de razão [tex3]q=\frac{2^3}{3^2}=\frac{8}{9}[/tex3] . Então sua soma é [tex3]S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1/3}{1/9}=3[/tex3]
Isso tudo foi só pra poder escrever a inequação assim:
[tex3]5\cdot4^x-2\cdot5^{2x}>3\cdot10^x[/tex3]
Penso que 10 deva ser escrito como 2x5 e ficamos com [tex3]5\cdot(2^2)^x-2\cdot5^{2x}>3\cdot(2\cdot5)^x[/tex3]
Logo [tex3]5\cdot2^{2x}-2\cdot5^{2x}>3\cdot2^x\cdot5^x[/tex3]
Vou dividir tudo por [tex3]2^{2x}[/tex3] e ver o que dá...
[tex3]5-2\(\frac{5}{2}\)\cdot^{2x}>3\(\frac{5}{2}\)^x[/tex3] .
Mudança de variável: [tex3]k=\(\frac{5}{2}\)^x[/tex3]
[tex3]5-2k^2>3k\Rightarrow-2k^2-3k+5>0[/tex3] .
O discriminante é [tex3]9-4\cdot(-2)\cdot5=49=7^2[/tex3]
Os limites do intervalo são [tex3]\frac{-3\pm7}{4}[/tex3] (1 e -2,5). A solução fica entre esses limites.
[tex3]\frac{-5}{2}<k<1\Rightarrow\frac{-5}{2}<\(\frac{5}{2}\)^x<1[/tex3] O lado esquerdo é garantido porque exponenciais nunca negativam. Já o lado direito só vale se x<0.
Letra B.
Beleza? Posso ter errado algo.
Editado pela última vez por fabit em 12 Mai 2015, 16:07, em um total de 1 vez.
SAUDAÇÕES RUBRONEGRAS HEXACAMPEÃS !!!!!!!!!!!
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