Pré-VestibularUnitau- Inequação

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.
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isahllama
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Abr 2015 30 13:57

Unitau- Inequação

Mensagem não lida por isahllama »

Sabendo-se que x é um número real, o conjunto
solução da inequação 5.[tex3]4^{x}[/tex3] -2.[tex3]5^{2x}[/tex3] > S.[tex3]10^{x}[/tex3]

S=[tex3]\frac{1}{3} + \frac{8}{27} + \frac{64}{243}[/tex3] +... é:


A)S= { }

B)S= {x<0}

C)S={x>0}

D) S ={x < - [tex3]\frac{2}{5}[/tex3] ou x> 1}

E) S= { - [tex3]\frac{2}{5}[/tex3] < x < 1}

Resposta : (B)

Editado pela última vez por isahllama em 30 Abr 2015, 13:57, em um total de 1 vez.
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fabit
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Mai 2015 12 16:07

Re: Unitau- Inequação

Mensagem não lida por fabit »

Primeiro vamos ver esse S...

[tex3]S=\sum_{i=0}^{+\infty}\(\frac{2^{3i}}{3^{1+2i}}\)=\frac{2^0}{3^1}+\frac{2^3}{3^3}+\frac{2^6}{3^5}+\cdots=\frac{1}{3}+\frac{8}{27}+\frac{64}{243}+\cdots[/tex3]

É uma PG infinita de razão [tex3]q=\frac{2^3}{3^2}=\frac{8}{9}[/tex3] . Então sua soma é [tex3]S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1/3}{1/9}=3[/tex3]

Isso tudo foi só pra poder escrever a inequação assim:
[tex3]5\cdot4^x-2\cdot5^{2x}>3\cdot10^x[/tex3]

Penso que 10 deva ser escrito como 2x5 e ficamos com [tex3]5\cdot(2^2)^x-2\cdot5^{2x}>3\cdot(2\cdot5)^x[/tex3]

Logo [tex3]5\cdot2^{2x}-2\cdot5^{2x}>3\cdot2^x\cdot5^x[/tex3]

Vou dividir tudo por [tex3]2^{2x}[/tex3] e ver o que dá...

[tex3]5-2\(\frac{5}{2}\)\cdot^{2x}>3\(\frac{5}{2}\)^x[/tex3] .

Mudança de variável: [tex3]k=\(\frac{5}{2}\)^x[/tex3]

[tex3]5-2k^2>3k\Rightarrow-2k^2-3k+5>0[/tex3] .

O discriminante é [tex3]9-4\cdot(-2)\cdot5=49=7^2[/tex3]

Os limites do intervalo são [tex3]\frac{-3\pm7}{4}[/tex3] (1 e -2,5). A solução fica entre esses limites.

[tex3]\frac{-5}{2}<k<1\Rightarrow\frac{-5}{2}<\(\frac{5}{2}\)^x<1[/tex3] O lado esquerdo é garantido porque exponenciais nunca negativam. Já o lado direito só vale se x<0.

Letra B.

Beleza? Posso ter errado algo.

Editado pela última vez por fabit em 12 Mai 2015, 16:07, em um total de 1 vez.
SAUDAÇÕES RUBRONEGRAS HEXACAMPEÃS !!!!!!!!!!!
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