Ensino Superior ⇒ Pontos Colineares [Cálculo vetorial e Geometria analítica] Tópico resolvido

[mglessa92]

Pessoal, boa tarde!

Estou com dificuldade na resolução do seguinte problema, poderiam me ajudar?

Questão: Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A=(3,1,-2), B=(1,5,1) e C(a,b,3).

[baltuilhe]

Boa tarde!

Montar os vetores [tex3]\vec{AB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AB}[/tex3]

e [tex3]\vec{AC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AC}[/tex3]

.
Como os pontos tem de ser colineares ambos os vetores devem ser paralelos entre si. Ou seja, existirá um número [tex3]\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha[/tex3]

de tal forma que [tex3]\vec{AC}=\alpha\vec{AB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AC}=\alpha\vec{AB}[/tex3]

.

Vamos encontrar o valor de [tex3]\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha[/tex3]

que rapidamente resolvemos o problema.
[tex3]\vec{AB}=B-A=\left(1-3,\;5-1,\;1-(-2)\right)=(-2,\;4,\;3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AB}=B-A=\left(1-3,\;5-1,\;1-(-2)\right)=(-2,\;4,\;3)[/tex3]

[tex3]\vec{AC}=C-A=\left(a-3,\;b-1,\;3-(-2)\right)=(a-3,\;b-1,\;5)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AC}=C-A=\left(a-3,\;b-1,\;3-(-2)\right)=(a-3,\;b-1,\;5)[/tex3]

[tex3]\vec{AC}=\alpha\vec{AB}\\
(a-3,\;b-1,\;5)=\alpha(-2,\;4,\;3)\\
(a-3,\;b-1,\;5)=(-2\alpha,\;4\alpha,\;3\alpha)\\
\text{coordenada z: }3\alpha=5\Rightarrow
\alpha=\frac{5}{3}\\
a-3=-2\alpha\Rightarrow a-3=-2\cdot\frac{5}{3}\Rightarrow a=3-\frac{10}{3}\Rightarrow a=\frac{9-10}{3}\Rightarrow a=-\frac{1}{3}\\
b-1=4\alpha\Rightarrow b-1=4\cdot\frac{5}{3}\Rightarrow b=1+\frac{20}{3}\Rightarrow b=\frac{3+20}{3}\Rightarrow b=\frac{23}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AC}=\alpha\vec{AB}\\
(a-3,\;b-1,\;5)=\alpha(-2,\;4,\;3)\\
(a-3,\;b-1,\;5)=(-2\alpha,\;4\alpha,\;3\alpha)\\
\text{coordenada z: }3\alpha=5\Rightarrow
\alpha=\frac{5}{3}\\
a-3=-2\alpha\Rightarrow a-3=-2\cdot\frac{5}{3}\Rightarrow a=3-\frac{10}{3}\Rightarrow a=\frac{9-10}{3}\Rightarrow a=-\frac{1}{3}\\
b-1=4\alpha\Rightarrow b-1=4\cdot\frac{5}{3}\Rightarrow b=1+\frac{20}{3}\Rightarrow b=\frac{3+20}{3}\Rightarrow b=\frac{23}{3}[/tex3]

Espero ter ajudado!

[mglessa92]

Perfeita a explicação, ajudou bastante! Obrigado