Ensino Superior ⇒ Taxas Relacionadas

[Brunojasp]

Uma tina de agua tem 10 m de comprimento e uma seção transversal com a forma de um trapezio isosceles com 30 cm de comprimento na base, 80cm de extensao no topo e 50 cm de altura. Se a tina for preenchida com agua a uma taxa de 0,2 [tex3]m^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m^{3}[/tex3]

/min, quão rápido estará subindo o nıvel da agua quando ela estiver a 30 cm de profundidade?

[Brunojasp]

Alguém? rs

[Ittalo25]

Calculando o volume da tina:

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[tex3]V = 10.\left(\frac{(0,3+0,8).h}{2}\right)[/tex3]

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[tex3]V = 20.h.\left(\frac{(0,3+0,8).h}{2}\right)[/tex3]

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[tex3]V = 11.h^2[/tex3]

derivando em função do tempo:

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[tex3]\frac{dV}{dt} = 22.h.\frac{dh}{dt}[/tex3]

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[tex3]0,2 = 22.h.\frac{dh}{dt}[/tex3]

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[tex3]\frac{0,2}{22.h} = \frac{dh}{dt}[/tex3]

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[tex3]\frac{0,2}{22.(0,2)} = \frac{dh}{dt}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{22} = \frac{dh}{dt}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{22} m/min[/tex3]

Penso que seja isso ,

[baltuilhe]

Bom dia!

Estava pensando em sua solução, Ítalo, e acho que uma coisa não ficou correta, que é a área do trapézio. Quando a água começar a encher a tina realmente a altura irá variar (o h que usou), mas a 'base maior' do trapézio não será o 0,8 (80 cm), e sim, um valor intermediário (entre 30 cm da base menor e os 80 cm da base maior).

Por semelhança de triângulos podemos encontrar o valor desta base média:
[tex3]\frac{h}{0,5}=\frac{x-0,3}{0,8-0,3}[/tex3]

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[tex3]\frac{h}{0,5}=\frac{x-0,3}{0,8-0,3}[/tex3]

, onde h é a altura da água e x é o valor desta base intermediária.
x=h+0,3

Então, o volume da tina:
[tex3]V=10\cdot\left(\frac{(0,3+x)h}{2}\right)\\
V=5\cdot\left((0,3+(h+0,3))\cdot h\right)\\
V=5\cdot\left((0,6+h)\cdot h\right)\\
V=3h+5h^2[/tex3]

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[tex3]V=10\cdot\left(\frac{(0,3+x)h}{2}\right)\\
V=5\cdot\left((0,3+(h+0,3))\cdot h\right)\\
V=5\cdot\left((0,6+h)\cdot h\right)\\
V=3h+5h^2[/tex3]

Derivando em função do tempo:
[tex3]\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{dt}}=3\cdot\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}+10h\cdot\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{dt}}=(3+10h)\cdot \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
0,2=(3+10\cdot 0,3)\cdot \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
0,2=6\cdot \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}=\frac{0,2}{6}\\
\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\approx 0,0333\text{ m/min}[/tex3]

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[tex3]\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{dt}}=3\cdot\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}+10h\cdot\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{dt}}=(3+10h)\cdot \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
0,2=(3+10\cdot 0,3)\cdot \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
0,2=6\cdot \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}=\frac{0,2}{6}\\
\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\approx 0,0333\text{ m/min}[/tex3]

Espero ter ajudado! (e também estar com o raciocínio correto! )

[Dr4gonFireOne]

Baitulhe, poderia explicar melhor como fez essa relacao com semelhanca de triângulo? Agradeço desde já

[baltuilhe]

Boa noite!

Veja se o desenho ajuda:

Captura de Tela 2019-08-10 às 00.07.12.png (26.78 KiB) Exibido 1259 vezes

Do desenho:
[tex3]\dfrac{h}{0,5}=\dfrac{x-0,3}{0,8-0,3}\\
\dfrac{h}{0,5}=\dfrac{x-0,3}{0,5}\\
h=x-0,3\\
\color{red}\boxed{x=h+0,3}[/tex3]

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[tex3]\dfrac{h}{0,5}=\dfrac{x-0,3}{0,8-0,3}\\
\dfrac{h}{0,5}=\dfrac{x-0,3}{0,5}\\
h=x-0,3\\
\color{red}\boxed{x=h+0,3}[/tex3]

Ajudou?