Ensino Superior ⇒ Taxas Relacionadas
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2015
05
02:02
Taxas Relacionadas
Uma tina de agua tem 10 m de comprimento e uma seção transversal com a forma de um trapezio isosceles com 30 cm de comprimento na base, 80cm de extensao no topo e 50 cm de altura. Se a tina for preenchida com agua a uma taxa de 0,2 [tex3]m^{3}[/tex3]
/min, quão rápido estará subindo o nıvel da agua quando ela estiver a 30 cm de profundidade?
Última edição: Brunojasp (Dom 05 Abr, 2015 02:02). Total de 1 vez.
Abr 2015
06
00:33
Re: Taxas Relacionadas
Calculando o volume da tina:
derivando em função do tempo:
Penso que seja isso ,
derivando em função do tempo:
Penso que seja isso ,
Última edição: Ittalo25 (Seg 06 Abr, 2015 00:33). Total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
Abr 2015
06
09:18
Re: Taxas Relacionadas
Bom dia!
Estava pensando em sua solução, Ítalo, e acho que uma coisa não ficou correta, que é a área do trapézio. Quando a água começar a encher a tina realmente a altura irá variar (o h que usou), mas a 'base maior' do trapézio não será o 0,8 (80 cm), e sim, um valor intermediário (entre 30 cm da base menor e os 80 cm da base maior).
Por semelhança de triângulos podemos encontrar o valor desta base média:
[tex3]\frac{h}{0,5}=\frac{x-0,3}{0,8-0,3}[/tex3] , onde h é a altura da água e x é o valor desta base intermediária.
x=h+0,3
Então, o volume da tina:
[tex3]V=10\cdot\left(\frac{(0,3+x)h}{2}\right)\\
V=5\cdot\left((0,3+(h+0,3))\cdot h\right)\\
V=5\cdot\left((0,6+h)\cdot h\right)\\
V=3h+5h^2[/tex3]
Derivando em função do tempo:
[tex3]\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{dt}}=3\cdot\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}+10h\cdot\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{dt}}=(3+10h)\cdot \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
0,2=(3+10\cdot 0,3)\cdot \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
0,2=6\cdot \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}=\frac{0,2}{6}\\
\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\approx 0,0333\text{ m/min}[/tex3]
Espero ter ajudado! (e também estar com o raciocínio correto! )
Estava pensando em sua solução, Ítalo, e acho que uma coisa não ficou correta, que é a área do trapézio. Quando a água começar a encher a tina realmente a altura irá variar (o h que usou), mas a 'base maior' do trapézio não será o 0,8 (80 cm), e sim, um valor intermediário (entre 30 cm da base menor e os 80 cm da base maior).
Por semelhança de triângulos podemos encontrar o valor desta base média:
[tex3]\frac{h}{0,5}=\frac{x-0,3}{0,8-0,3}[/tex3] , onde h é a altura da água e x é o valor desta base intermediária.
x=h+0,3
Então, o volume da tina:
[tex3]V=10\cdot\left(\frac{(0,3+x)h}{2}\right)\\
V=5\cdot\left((0,3+(h+0,3))\cdot h\right)\\
V=5\cdot\left((0,6+h)\cdot h\right)\\
V=3h+5h^2[/tex3]
Derivando em função do tempo:
[tex3]\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{dt}}=3\cdot\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}+10h\cdot\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{dt}}=(3+10h)\cdot \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
0,2=(3+10\cdot 0,3)\cdot \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
0,2=6\cdot \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\\
\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}=\frac{0,2}{6}\\
\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{dt}}\approx 0,0333\text{ m/min}[/tex3]
Espero ter ajudado! (e também estar com o raciocínio correto! )
Última edição: baltuilhe (Seg 06 Abr, 2015 09:18). Total de 1 vez.
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- Registrado em: Qua 07 Ago, 2019 18:04
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Ago 2019
07
22:58
Re: Taxas Relacionadas
Baitulhe, poderia explicar melhor como fez essa relacao com semelhanca de triângulo? Agradeço desde já
Ago 2019
10
01:08
Re: Taxas Relacionadas
Boa noite!
Veja se o desenho ajuda: Do desenho:
[tex3]\dfrac{h}{0,5}=\dfrac{x-0,3}{0,8-0,3}\\
\dfrac{h}{0,5}=\dfrac{x-0,3}{0,5}\\
h=x-0,3\\
\color{red}\boxed{x=h+0,3}[/tex3]
Ajudou?
Veja se o desenho ajuda: Do desenho:
[tex3]\dfrac{h}{0,5}=\dfrac{x-0,3}{0,8-0,3}\\
\dfrac{h}{0,5}=\dfrac{x-0,3}{0,5}\\
h=x-0,3\\
\color{red}\boxed{x=h+0,3}[/tex3]
Ajudou?
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