e também:
a)
b)
c)
d)
Ensino Superior ⇒ (IIT - JEE) Derivadas Tópico resolvido
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Ittalo25
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Abr 2015
03
23:39
(IIT - JEE) Derivadas
Se a função f: R 
R satisfaz a condição:
-f(2x-2y)}{f(2x+2y)+f(2x-2y)} = \frac{cos(x).sin(y)}{sin(x).cos(y)} "\frac{f(2x+2y)-f(2x-2y)}{f(2x+2y)+f(2x-2y)} = \frac{cos(x).sin(y)}{sin(x).cos(y)}")
e também: = \frac{1}{2} "f'(0) = \frac{1}{2}")
, então:
a)-f(x) = 0 "f''(x)-f(x) = 0")
b)+f'(x) = 0 "4f''(x)+f'(x) = 0")
c)+f(x) = 0 "4f''(x)+f(x) = 0")
d)+f''(x) = 0 "4f'(x)+f''(x) = 0")
e também:
a)
b)
c)
d)
Editado pela última vez por Ittalo25 em 03 Abr 2015, 23:39, em um total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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danjr5
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Fev 2016
06
13:51
Re: (IIT - JEE) Derivadas
Inicialmente, consideramos 
e 
. Resolvendo o sistema formado chegamos a 
e 
.
Com efeito,
 - f(\beta)}{f(\alpha) + f(\beta)} = \frac{\cos x \cdot \sin y}{\sin x \cdot \cos y} \\\\\\ \frac{f(\alpha) - f(\beta)}{f(\alpha) + f(\beta)} = \frac{k \cdot (\cos x \cdot \sin y)}{k \cdot (\sin x \cdot \cos y)} \\\\\\ \begin{cases} f(\alpha) - f(\beta) = k \cdot (\cos x \cdot \sin x) \\ f(\alpha) + f(\beta) = k \cdot (\sin x \cdot \cos x)\end{cases} "\\ \frac{f(\alpha) - f(\beta)}{f(\alpha) + f(\beta)} = \frac{\cos x \cdot \sin y}{\sin x \cdot \cos y} \\\\\\ \frac{f(\alpha) - f(\beta)}{f(\alpha) + f(\beta)} = \frac{k \cdot (\cos x \cdot \sin y)}{k \cdot (\sin x \cdot \cos y)} \\\\\\ \begin{cases} f(\alpha) - f(\beta) = k \cdot (\cos x \cdot \sin x) \\ f(\alpha) + f(\beta) = k \cdot (\sin x \cdot \cos x)\end{cases}")
Resolvendo o sistema acima, a partir da proporção, tiramos que = \frac{k}{2} \cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)} "\boxed{f(\alpha) = \frac{k}{2} \cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)}")
e  = \frac{k}{2} \cdot \sin \left(\frac{\beta}{2}\right)} "\boxed{f(\beta) = \frac{k}{2} \cdot \sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}")
.
Vale destacar que = \sin x \cdot \cos y + \sin y \cdot \cos x} "\boxed{\sin(x + y) = \sin x \cdot \cos y + \sin y \cdot \cos x}")
.
Segue que,
![\\ f(x) = f\left(\frac{\alpha + \beta}{4}\right) \\\\\\ f(x) = f\left(\frac{\alpha}{4}\right) + f\left(\frac{\beta}{4}\right)\\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \sin \left(\frac{\frac{\alpha}{4}}{2}\right) + \frac{k}{2} \cdot \sin \left(\frac{\frac{\beta}{4}}{2}\right) \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[\sin \left(\frac{\alpha}{8}\right) + \sin \left(\frac{\beta}{8}\right)\right] \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[\sin \left(\frac{2x + 2y}{8}\right) + \sin \left(\frac{2x - 2y}{8}\right)\right] \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[\sin \left(\frac{x + y}{4}\right) + \sin \left(\frac{x - y}{4}\right)\right] \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[\sin\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{y}{4}\right) + \cancel{\sin \left(\frac{y}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right)} + \sin\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{y}{4}\right) - \cancel{\sin \left(\frac{y}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right)}\right] \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[ 2 \cdot \sin\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{y}{4}\right) \right]](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?\\ f(x) = f\left(\frac{\alpha + \beta}{4}\right) \\\\\\ f(x) = f\left(\frac{\alpha}{4}\right) + f\left(\frac{\beta}{4}\right)\\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \sin \left(\frac{\frac{\alpha}{4}}{2}\right) + \frac{k}{2} \cdot \sin \left(\frac{\frac{\beta}{4}}{2}\right) \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[\sin \left(\frac{\alpha}{8}\right) + \sin \left(\frac{\beta}{8}\right)\right] \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[\sin \left(\frac{2x + 2y}{8}\right) + \sin \left(\frac{2x - 2y}{8}\right)\right] \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[\sin \left(\frac{x + y}{4}\right) + \sin \left(\frac{x - y}{4}\right)\right] \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[\sin\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{y}{4}\right) + \cancel{\sin \left(\frac{y}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right)} + \sin\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{y}{4}\right) - \cancel{\sin \left(\frac{y}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right)}\right] \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[ 2 \cdot \sin\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{y}{4}\right) \right] "\\ f(x) = f\left(\frac{\alpha + \beta}{4}\right) \\\\\\ f(x) = f\left(\frac{\alpha}{4}\right) + f\left(\frac{\beta}{4}\right)\\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \sin \left(\frac{\frac{\alpha}{4}}{2}\right) + \frac{k}{2} \cdot \sin \left(\frac{\frac{\beta}{4}}{2}\right) \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[\sin \left(\frac{\alpha}{8}\right) + \sin \left(\frac{\beta}{8}\right)\right] \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[\sin \left(\frac{2x + 2y}{8}\right) + \sin \left(\frac{2x - 2y}{8}\right)\right] \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[\sin \left(\frac{x + y}{4}\right) + \sin \left(\frac{x - y}{4}\right)\right] \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[\sin\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{y}{4}\right) + \cancel{\sin \left(\frac{y}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right)} + \sin\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{y}{4}\right) - \cancel{\sin \left(\frac{y}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right)}\right] \\\\\\ f(x) = \frac{k}{2} \cdot \left[ 2 \cdot \sin\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{y}{4}\right) \right]")
Derivando a função
encontramos  = k \cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right) \sin \left(\frac{y}{4}\right)} "\boxed{f'(x) = k \cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right) \sin \left(\frac{y}{4}\right)}")
Encontramos o valor de "k" usando a seguinte condição dada no enunciado:.
Segue,
 = k \cdot \cos 0 \cdot \cos 0 \\ \frac{1}{2} = k \\ \boxed{k = \frac{1}{2}} "\\ f'(0) = k \cdot \cos 0 \cdot \cos 0 \\ \frac{1}{2} = k \\ \boxed{k = \frac{1}{2}}")
Logo, temos que = \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right) \sin \left(\frac{y}{4}\right)} "\boxed{f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right) \sin \left(\frac{y}{4}\right)}")
.
Por fim, derivamos "f'(x)")
e concluímos que  + f'(x) = 0}} "\boxed{\boxed{4 \cdot f''(x) + f'(x) = 0}}")
.
Opção b!!!
Com efeito,
Resolvendo o sistema acima, a partir da proporção, tiramos que
Vale destacar que
Segue que,
Derivando a função
Encontramos o valor de "k" usando a seguinte condição dada no enunciado:
Segue,
Logo, temos que
Por fim, derivamos
Opção b!!!
Editado pela última vez por danjr5 em 06 Fev 2016, 13:51, em um total de 1 vez.
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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