Ensino Superior

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 27 Mar 2015, 07:53 · 27 Mar 2015, 07:53

Olá, senhores. Me auxiliem na resolução desse problema.
Calcule $\int_\gamma \frac{-y}{x^2+y^2}dx +\frac{x}{x^2+y^2}dy$ onde $\gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2$ é uma curva de classe $C^1$ por partes, com imagem contida em $\Omega=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2| y>0\} \cup \{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x<0\}$ tal que $\gamma(0)=(1,1)$ e $\gamma(1)=(-1,-1)$ .

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 28 Mar 2015, 16:30 · 28 Mar 2015, 16:30

Alguém ?

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 29 Mar 2015, 10:20 · 29 Mar 2015, 10:20

Na verdade eu apenas quero uma primitiva de $P(x,y) dx +Q(x,y) dy$ em $\Omega$ . Depois disso fica bem fácil.

29 Mar 2015, 16:08

$\frac{\partial U}{ \partial x} = \frac{-y}{x^2+y^2}$
$U = - arctg(\frac xy) + f(y)$
$\frac{\partial U}{ \partial y} = f'(y) + \frac{x}{x^2+y^2}$
então $f(y) = k$

essa integral vale a diferença de potencial (ou menos ela ?)

que é $U(-1,-1) - U(1,1) = -arctg(1) + k - (-arctg(1) + k) = 0$

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 29 Mar 2015, 16:42 · 29 Mar 2015, 16:42

Consegui. De fato:
$\frac{-y}{x^2+y^2} dx+ \frac{x}{x^2+y^2}dy$ é uma forma diferencial exata no conjunto $\Omega$ dado. Assim, existe um campo escalar $\varphi: \Omega \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\nabla \varphi=\vec{F}$ em $\Omega$ . O problema consiste em determinar $\varphi$ .
Começamos no semi-plano $y>0$ . Temos que $\varphi_1(x,y) = \frac{\pi}{2}-\arctan \frac{x}{y},y>0$ é uma primitiva de $P(x,y) dx+Q(x,y) dy$ no semi-plano $y>0$ . Por outro lado, $\varphi_2 (x,y) = \arctan \frac{y}{x}, x<0$ é uma primitiva de $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ no semi-plano $x<0$ .
Como funções com gradientes iguais devem diferir, por uma constante temos:
$k+\arctan \frac{y}{x}=\frac{\pi}{2}- \arctan \frac{x}{y}$ . Em (-1,1), temos:
$k+\arctan(-1)=\frac{\pi}{2}- \arctan(-1) \Rightarrow k-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}$
$k=\pi$ .
Já no plano x<0 e y<0, $\varphi_3 (x,y) =- \arctan \frac{x}{y}$ é uma primitiva de $P(x,y) dx+Q(x,y) dy$ . Logo:
$k_1- \arctan \frac{x}{y}=\pi +\arctan \frac{x}{y} \Rightarrow k_1=\frac{3\pi}{2}$
Finalmente, temos que:
$\varphi (x,y) = \begin{cases} \frac{\pi}{2}- \arctan \frac{x}{y}, y>0 \\ \pi , y=0 \\ \frac{3\pi}{2}- \arctan \frac{x}{y}, y<0 \end{cases}$
Agora ficou fácil:
$\int_\gamma P(x,y) dx+Q(x,y) dy =[\varphi(x,y)]^{(-1,-1)}_{(1,1)}=\varphi(-1,-1)-\varphi(1,1)$
$=\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\pi$
$\int_\gamma P(x,y) dx+Q(x,y) dy =\pi$
acredito que é isso.

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