Ensino Médio

Mensagem não lidapor **dilson** » 21 Mar 2015, 03:06 · Mensagem não lida por **dilson** » 21 Mar 2015, 03:06

Um triângulo está inscrito numa circunferência de 12 m de raio e possui dois ângulos internos com medidas de 30º e 70º.
Usando cos 10º = 0,98 e cos 20º = 0,94, considere as seguintes afirmativas:

1) A medida de seu lado menor é 12 m.
2) A medida de seu lado maior é 22,56 m.
3) O perímetro do triângulo é 58,08 m

Quantas afirmativas estão corretas?

Mensagem não lidapor **AdRiaN128** » 21 Mar 2015, 23:38 · Mensagem não lida por **AdRiaN128** » 21 Mar 2015, 23:38

: 001.png (14.25 KiB) Exibido 2674 vezes

Seja [tex3]ABC[/tex3] um triângulo,e [tex3]\angle ACB=30^{\circ}[/tex3] , [tex3]\angle BAC=70^{\circ}[/tex3] e [tex3]\angle ABC = 180^{\circ}-(30^{\circ}+70^{\circ})=80^{\circ}[/tex3] .

Por ângulo inscrito, [tex3]\angle OAB=60^{\circ}[/tex3] e como [tex3]OA=OB=12\, m[/tex3] ,então [tex3]\triangle AOB[/tex3] é equilátero e logo [tex3]AB=12 \, m[/tex3]

Prolongando [tex3]AO[/tex3] até encontrar a circunferência em [tex3]D[/tex3] ,temos que [tex3]\angle ACD=90^{\circ}[/tex3]
Da mesma forma, prolongamos [tex3]BO[/tex3] até encontrar a circunferência em [tex3]E[/tex3] ,temos que [tex3]\angle BCE=90^{\circ}[/tex3]

No [tex3]\triangle ACD[/tex3] :
[tex3]\dfrac{AC}{AD}=\cos 10^{\circ}=0,98 \Rightarrow AC=AD\cdot 0,98=24\cdot 0,98=23,52[/tex3]

No [tex3]\triangle BCE[/tex3] :
[tex3]\dfrac{BC}{BE}=\cos 20^{\circ}=0,94 \Rightarrow BC=BE\cdot 0,94=24\cdot 0,94=22,56[/tex3]

Então concluímos que [tex3]AB=12\, m[/tex3] , [tex3]AC=23,52\, m[/tex3] e [tex3]BC=22,56\, m[/tex3]
O perímetro será [tex3]12+23,52+22,56=58,08\, m[/tex3]
O menor lado está oposto ao ângulo de [tex3]30^{\circ}[/tex3] e o maior lado está oposto ao ângulo de [tex3]80^{\circ}[/tex3]

1)[tex3]AB=12[/tex3] Correto
2)[tex3]AC=22,56[/tex3] Errado
3)[tex3]\text{Perimetro}=58,08[/tex3] Certo

Mensagem não lidapor **poisedom** » 22 Mar 2015, 07:59 · Mensagem não lida por **poisedom** » 22 Mar 2015, 07:59

Um outra forma de resolver

: circulo.png (24.15 KiB) Exibido 2673 vezes

traçando os segmentos de reta OA, OB e OC, onde O é o centro do círculo, logo OA, OB e OC são os raios da circunferência cujo a medidade é 12 m.

Então o triângulo OCB, cujo a medidade de OB e OC é igual ao raio,[tex3]12m[/tex3] e o ângulo BOC é o dobro do Ângulo BAC, visto que o ângulo BOC é o angulo central e BAC o ângulo inscrito de mesmo arco BC, então [tex3]\angle BOC=60^{\circ}[/tex3]

assim pela lei dos cossenos temos:
[tex3](\overline{BC})^2=12^2+12^2-2\cdot12\cdot12\cdot cos(60^\circ)[/tex3]
[tex3](\overline{BC})^2=144+144-144[/tex3]
[tex3](\overline{BC})=12[/tex3]

Então o triângulo OAC, cujo a medidade de OA e OC é igual ao raio,[tex3]12m[/tex3] e o ângulo AOC é o dobro do Ângulo ABC, visto que o ângulo AOC é o angulo central e ABC o ângulo inscrito de mesmo arco AC, então [tex3]\angle AOC=140^{\circ}[/tex3]

assim pela lei dos cossenos temos:
[tex3](\overline{AC})^2=12^2+12^2-2\cdot12\cdot12\cdot cos(140^\circ)[/tex3]
[tex3](\overline{AC})^2=144+144-288[-cos(40^\circ)][/tex3]
[tex3](\overline{AC})^2=144+144+288[cos(40^\circ)][/tex3]
[tex3](\overline{AC})^2=144+144+288[2cos^2(20^\circ)-1][/tex3]
[tex3](\overline{AC})^2=144+144+288[2(0,94)^2-1][/tex3]
[tex3](\overline{AC})^2=144+144+288[0,7672][/tex3]
[tex3](\overline{AC})^2=144+144+220,9536[/tex3]
[tex3](\overline{AC})=22,56[/tex3]

Por fim o triângulo OAB, cujo a medidade de OA e OB é igual ao raio,[tex3]12m[/tex3] e o ângulo AOB é o dobro do Ângulo ACB, visto que o ângulo AOB é o angulo central e ACB o ângulo inscrito de mesmo arco AB, então [tex3]\angle AOB=160^{\circ}[/tex3]

assim pela lei dos cossenos temos:
[tex3](\overline{AB})^2=12^2+12^2-2\cdot12\cdot12\cdot cos(160^\circ)[/tex3]
[tex3](\overline{AB})^2=144+144-288[-cos(20^\circ)][/tex3]
[tex3](\overline{AB})^2=144+144+288[cos(20^\circ)][/tex3]
[tex3](\overline{AB})^2=144+144+288\cdot 0,94[/tex3]
[tex3](\overline{AB})\approx 23,63[/tex3]

Perimetro do triângulo
[tex3]12+22,56+23,63=58,19\approx 58,08\, m[/tex3]

assim estão corretas os itens 1 e 3

Mensagem não lidapor **poisedom** » 22 Mar 2015, 09:46 · Mensagem não lida por **poisedom** » 22 Mar 2015, 09:46

Uma terceira maneira de resolver o problema

lembrando que [tex3]\\cos \alpha =\sen \beta, se \alpha +\beta =90^\circ[/tex3]
então [tex3]\sen 80^\circ= \cos 10^\circ=0,98[/tex3] e [tex3]\sen 70^\circ= \cos 20^\circ=0,94[/tex3]

pela lei dos \sen os temos

[tex3]\frac{a}{\sen A}=\frac{b}{\sen B}=\frac{c}{\sen C}=2R[/tex3] onde R é o raio da circunferência circusncrita ao triângulo

logo

[tex3]\frac{a}{\sen 30^\circ}=\frac{b}{\sen 70^\circ}=\frac{c}{\sen 80^\circ}=2\cdot12[/tex3]

[tex3]\frac{a}{\sen 30^\circ}=24[/tex3]
[tex3]\frac{a}{0,5}=24[/tex3]
[tex3]a=12[/tex3]

[tex3]\frac{b}{\sen 70^\circ}=24[/tex3]
[tex3]\frac{b}{0,94}=24[/tex3]
[tex3]a=22,56[/tex3]

[tex3]\frac{c}{\sen 80^\circ}=24[/tex3]
[tex3]\frac{a}{0,98}=24[/tex3]
[tex3]a=23,52[/tex3]

perimetro [tex3]12+22,56+23,52=58,08[/tex3]

assim estão corretas os itens 1 e 3

Ensino Médio ⇒ Relação Métrica no Triângulo Retângulo Tópico resolvido

Relação Métrica no Triângulo Retângulo

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